《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC,D、E是BC$边上的点,且$BD= CE$,求证:$AD= AE$.

答案： 提示:证△ABD≌△ACE.

1. 如图,五角星的五个角都是顶角为$36^{\circ}$的等腰三角形,为了画出五角星,还需要知道$\angle AMB$的度数,算一算$\angle AMB$等于多少度.

答案： 1. 首先，根据等腰三角形内角和公式$\angle A+\angle ABM+\angle AMB = 180^{\circ}$（三角形内角和公式：$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$，这里$\angle B = \angle ABM$，$\angle C=\angle AMB$），且在等腰三角形中$\angle ABM=\angle BAM$。
已知$\angle A = 36^{\circ}$，设$\angle ABM=\angle BAM=x$。
由三角形内角和公式$\angle A+\angle ABM+\angle BAM = 180^{\circ}$，即$36^{\circ}+x + x=180^{\circ}$。
化简方程：
合并同类项得$2x=180^{\circ}-36^{\circ}$。
计算$180 - 36=144$，则$2x = 144^{\circ}$，解得$x=\frac{144^{\circ}}{2}=72^{\circ}$。
2. 然后，根据邻补角的定义：
因为$\angle AMB$与$x$是邻补角，即$\angle AMB + x=180^{\circ}$。
把$x = 72^{\circ}$代入$\angle AMB=180^{\circ}-x$。
所以$\angle AMB=180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}$。
解：在等腰三角形$ABM$中，$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle ABM=\angle BAM$。
根据三角形内角和公式$\angle A+\angle ABM+\angle BAM = 180^{\circ}$，设$\angle ABM=\angle BAM = x$，则$36^{\circ}+2x = 180^{\circ}$。
$\begin{aligned}2x&=180^{\circ}-36^{\circ}\\2x&=144^{\circ}\\x& = 72^{\circ}\end{aligned}$
又因为$\angle AMB$与$\angle ABM$是邻补角（$\angle AMB+\angle ABM = 180^{\circ}$），所以$\angle AMB=180^{\circ}-\angle ABM$。
把$\angle ABM = 72^{\circ}$代入得$\angle AMB=180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}$。
答：$\angle AMB$等于$108^{\circ}$。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AD= DC,\angle BAD= 26^{\circ}$.求$\angle B和\angle C$的度数.

答案： ∠B=77° ∠C=38.5°

3. 如图,$\triangle ABC$是等腰三角形,点$D,E分别在腰AC,AB$上,且$BE= CD$,连接$BD,CE$.求证:$BD= CE$.

答案： 提示:证∠ABC=∠ACB.

4. 上午8时,一条船从海岛$A$出发,以$15\ n mile/h$的速度向正北航行,10时到达海岛$B$处.从$A,B望灯塔C$,测得$\angle NAC= 42^{\circ},\angle NBC= 84^{\circ}$.求海岛$B与灯塔C$的距离.

答案： 30

在$\triangle ABC$中,$AB= AC,BD平分\angle ABC$,交$AC于点D,BD= AD$.
(1) 如图(1),求$\angle BAC$的度数;
(2) 如图(2),$E是AB$的中点,连接$ED$并延长,交$BC的延长线于点F$,连接$AF$.求证:$AF= AB+BC$.

答案：
(1)设∠ABD=x°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠DBC=x°.
∵AB=AC,
∴∠C=∠ABC=2x°.又BD=AD,
∴∠A=
x°.又∠BDC=∠A+∠ABD,即2x°=∠A+x°,
∴∠BDC=∠C=2x°,
∴BD=BC.在△ABC中,∠A+∠ABC+
∠C=180°,
∴x+2x+2x=180,解得x=36,
∴∠A=36°.
∴∠BAC的度数为36°.
(2)
∵E是AB的中点,BD=AD,
∴EF是AB的垂直平分线,
∴AF=BF,
∴∠FBA=∠FAB=72°,
∴∠AFB=∠FAC=36°,
∴CA=CF,
∴AB=
AC=CF,
∴AF=BF=BC+CF=AB+BC.