《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

3. 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $AB = AC$, $\angle BAC = 120^{\circ}$, $AD \perp BC$, 垂足为 $G$, 且 $AD = AB$, $\angle EDF = 60^{\circ}$, $DE$, $DF$ 分别交边 $AB$, $AC$ 于点 $E$, $F$. 求证:
(1) $\triangle ABD$ 是等边三角形；
(2) $BE = AF$.

答案： 1. 证明$\triangle ABD$是等边三角形：
解：
因为$AB = AC$，$AD\perp BC$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，根据等腰三角形三线合一性质，$\angle BAD=\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC$。
所以$\angle BAD=\frac{1}{2}×120^{\circ}=60^{\circ}$。
又因为$AD = AB$，根据等边三角形的判定定理（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形）。
所以$\triangle ABD$是等边三角形。
2. 证明$BE = AF$：
解：
因为$\triangle ABD$是等边三角形，所以$\angle ABD=\angle ADB = 60^{\circ}$，$BD = AD$。
因为$\angle EDF = 60^{\circ}$，所以$\angle BDE+\angle ADE=\angle ADF+\angle ADE = 60^{\circ}$，则$\angle BDE=\angle ADF$。
因为$AB = AC$，$AD\perp BC$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，所以$\angle C=\angle B = 30^{\circ}$。
又因为$\angle ABD = 60^{\circ}$，所以$\angle B=\angle DAF = 30^{\circ}$。
在$\triangle BDE$和$\triangle ADF$中：
$\begin{cases}\angle B=\angle DAF\\BD = AD\\\angle BDE=\angle ADF\end{cases}$
根据$ASA$（角 - 边 - 角）全等判定定理，$\triangle BDE\cong\triangle ADF$。
根据全等三角形的对应边相等，所以$BE = AF$。
综上，（1）$\triangle ABD$是等边三角形得证；（2）$BE = AF$得证。

1. 如图, $\triangle ABC$ 是等边三角形, $D$, $E$ 在直线 $BC$ 上, $DB = EC$. 求证: $\angle D = \angle E$.

答案：
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ABC=∠ACB,
∴∠ABD=∠ACE,
∴△ADB≌△AEC(SAS),
∴∠D=∠E.

2. 如图, 在等边 $\triangle ABC$ 中, 点 $D$ 是 $AC$ 的中点, 且 $CE = CD$, $DF \perp BE$. 求证: $BF = EF$.

答案： 解：连接$BD$。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，点$D$是$AC$的中点，
所以$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 30^{\circ}$，$\angle ACB = 60^{\circ}$。
又因为$CE = CD$，所以$\angle E=\angle CDE$。
根据三角形外角性质$\angle ACB=\angle E+\angle CDE$，可得$\angle E=\frac{1}{2}\angle ACB = 30^{\circ}$。
所以$\angle DBC=\angle E$，则$\triangle BDE$是等腰三角形。
因为$DF\perp BE$，根据等腰三角形三线合一的性质（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合），所以$BF = EF$。

3. 如图, 点 $C$ 是 $AB$ 上一点, $\triangle ACM$, $\triangle CBN$ 都是等边三角形. 求证: $AN = BM$.

答案： 提示:证△ACN≌△MCB.

在 $Rt\triangle ABC$ 中, $\angle ACB = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$, $BD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线, $DE \perp AB$ 于点 $E$.
(1) 如图(1), 连接 $EC$, 求证: $\triangle EBC$ 是等边三角形.
(2) 点 $M$ 是线段 $CD$ 上的一点(不与点 $C$, $D$ 重合), 以 $BM$ 为一边, 在 $BM$ 的下方作 $\angle BMG = 60^{\circ}$, $MG$ 交 $DE$ 延长线于点 $G$. 请在图(2) 中画出完整图形, 并直接写出 $MD$, $DG$ 与 $AD$ 之间的数量关系.

答案：

(1)如图
(1)所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°,BC= $\frac{1}{2}$AB.
∵BD平分∠ABC,
∴∠1=∠DBA=∠A=30°.
∴DA=DB.
∵DE⊥AB于点E.
∴AE=BE= $\frac{1}{2}$AB.
∴BC=BE.
∴△EBC是等边三角形. 
(2)结论:AD=DG+DM.如图
(2)所示，延长ED使得DW=DM,连接MW,
∵∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,
∴∠ADE=∠BDE=60°,AD=BD.又∠W=∠MDB,DM=DW,
∴△WDM是等边三角形.
∴MW=DM.在△WGM和△DBM中,$\begin{cases} MW=DM, \\ ∠WMG=∠DMB, \end{cases}$
∴△WGM≌△DBM.
∴BD=WG=DG+DM.
∴AD=DG+DM;