《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第 108 的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
(1) 同底数幂的除法性质：
一般地,我们有 $ a^{m} ÷ a^{n} = $ $a^{m - n}$ ($ a \neq 0 $,$ m $,$ n $ 都是正整数,并且 $ m ＞ n $),即同底数的幂相除,底数 不变,指数 相减.
(2) 零指数幂的性质：
规定：$ a^{0} = $ 1 ($ a \neq 0 $),即任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1.

答案：
(1)$a^{m - n}$；不变；相减
(2)1

例 1 计算：
(1) $ x^{8} ÷ x^{2} $；
(2) $ (ab)^{5} ÷ (ab)^{3} $；
(3) $ (ab)^{6} \cdot (ab)^{2} ÷ (ab)^{7} $.

答案：
(1)
根据同底数幂的除法法则：$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0,m,n$是整数，且$m\gt n)$，对于$x^{8}÷ x^{2}$，其中$a = x$，$m = 8$，$n = 2$，则有：
$x^{8}÷ x^{2}=x^{8 - 2}=x^{6}$
(2)
把$ab$看作一个整体，同样根据同底数幂的除法法则，对于$(ab)^{5}÷(ab)^{3}$，其中$a_1=(ab)$，$m = 5$，$n = 3$，可得：
$(ab)^{5}÷(ab)^{3}=(ab)^{5 - 3}=(ab)^{2}=a^{2}b^{2}$
(3)
先根据同底数幂的乘法法则：$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m + n}(a\neq0,m,n$是整数)计算$(ab)^{6}\cdot(ab)^{2}$，把$ab$看作一个整体，$a=(ab)$，$m = 6$，$n = 2$，则$(ab)^{6}\cdot(ab)^{2}=(ab)^{6 + 2}=(ab)^{8}$。
再根据同底数幂的除法法则计算$(ab)^{8}÷(ab)^{7}$，把$ab$看作一个整体，$a=(ab)$，$m = 8$，$n = 7$，可得：
$(ab)^{6}\cdot(ab)^{2}÷(ab)^{7}=(ab)^{8}÷(ab)^{7}=(ab)^{8 - 7}=ab$
综上，答案依次为：
(1)$x^{6}$；
(2)$a^{2}b^{2}$；
(3)$ab$。

例 2 已知 $ (x - 1)^{x + 6} = 1 $,求 $ x $ 的值.

答案： 情况1：非零数的0次幂等于1。
指数$x + 6 = 0$，解得$x = -6$。
底数$x - 1 = -6 - 1 = -7 \neq 0$，成立。
情况2：1的任何次幂等于1。
底数$x - 1 = 1$，解得$x = 2$。
指数$x + 6 = 8$，$1^8 = 1$，成立。
情况3：-1的偶次幂等于1。
底数$x - 1 = -1$，解得$x = 0$。
指数$x + 6 = 6$（偶数），$(-1)^6 = 1$，成立。
综上，$x$的值为$-6$，$0$，$2$。

1. 计算：
(1) $ x^{7} ÷ x^{5} $； (2) $ m^{8} ÷ m^{8} $；
(3) $ (-a)^{10} ÷ (-a)^{7} $；
(4) $ (xy)^{5} ÷ (xy)^{3} $.

答案：
(1)$x^{2}$；
(2)1；
(3)$-a^{3}$；
(4)$x^{2}y^{2}$