《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

2. 在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 2BC$,$\angle B$ 和 $\angle A$ 各是多少度？

答案： ∠A=30°,∠B=60°

3. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle B = 30^{\circ}$,$AB = 6$,$D$ 为斜边 $AB$ 的中点,连接 $CD$. 求 $AC$,$CD$ 的长.

答案： AC=3,CD=3

4. 如图,厂房屋顶钢架外框是等腰三角形,其中 $AB = AC$,立柱 $AD\perp BC$,且顶角 $\angle BAC = 120^{\circ}$,$\angle B$,$\angle C$,$\angle BAD$,$\angle CAD$ 各是多少度？

答案： ∠B=∠C=30°,∠BAD=∠CAD=60°

1. 如图,$AB = AC$,$\angle A = 40^{\circ}$,$AB$ 的垂直平分线 $MN$ 交 $AC$ 于点 $D$,求 $\angle DBC$ 的度数.

答案： 30°

2. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle CAB = 2\angle B$,$AD$ 平分 $\angle CAB$.
(1)求 $\angle CAD$ 的度数；
(2)延长 $AC$ 至 $E$,使 $CE = AC$,求证：$DB = DE$.

答案：
(1)
∵∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠B=90°.又∠CAB=2∠B,
∴∠B=30°,∠CAB=60°.
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD=∠DAB=30°.
(2)
∵∠DAB=30°=∠B,
∴AD=DB.
∵AC=EC,∠ACB=90°,
∴AD=DE.
∴DE=DB.

动点问题是数学学习中常见的问题,解决此类问题的关键是动中求静,运用分类讨论及数形结合的思想灵活解决问题. 如图,在等边 $\triangle ABC$ 中,$BC = 6cm$,点 $P$ 在线段 $BA$ 上从点 $B$ 出发向点 $A$ 运动(点 $P$ 不与点 $A$ 重合),点 $P$ 运动的速度为 $2cm/s$；点 $Q$ 在线段 $CB$ 上从点 $C$ 出发向点 $B$ 运动(点 $Q$ 不与点 $B$ 重合),点 $Q$ 运动的速度为 $3cm/s$,设点 $P$,$Q$ 同时运动,运动时间为 $t s$.
(1)在点 $P$,$Q$ 运动过程中,经过几秒 $\triangle PBQ$ 为等边三角形？
(2)在点 $P$,$Q$ 运动过程中,若某时刻 $\triangle PBQ$ 为直角三角形,请计算运动时间 $t$.

答案：

(1)
∵点P运动的速度为2 cm/s,点Q运动的速度为3 cm/s,
∴BP=2t cm,BQ=(6 - 3t) cm,当BP=BQ时,△PBQ是等边三角形,
∴2t=6 - 3t,
∴t=1.2,
∴在点P,Q运动过程中,经过1.2 s时△PBQ为等边三角形

(2)①如图
(1),当∠BPQ=90°时,
∵∠B=60°,
∴∠BQP=30°,
∴PB=$\frac{1}{2}$BQ,
∴2t=$\frac{1}{2}$(6 - 3t),
∴t=$\frac{6}{7}$. ②如图
(2),当∠BQP=90°时,∠BPQ=30°,
∴BQ=$\frac{1}{2}$PB,
∴6 - 3t=$\frac{1}{2}$×2t,
∴t=1.5,
∴在点P,Q运动过程中,若△PBQ为直角三角形,t=$\frac{6}{7}$s或t=1.5 s.