《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

22. (6分)如图,在$ \mathrm{Rt} \triangle ACB $中,$ \angle ACB= 90^{\circ} $,$ \angle A= 30^{\circ} $,$ \angle ABC 的平分线 BE 交 AC 于点 E $. 点$ D 为 AB $上一点,且$ AD= AC $,$ CD $,$ BE 交于点 M $.
(1)求$ \angle DMB $的度数；
(2)若$ CH \perp BE 于点 H $,$ AB= 16 $,求$ MH $的长.

答案：
(1)$\because \angle ACB=90^{\circ }$,$\angle A=30^{\circ }$,$\therefore \angle ABC=60^{\circ }$,$\because BE$是$\angle ABC$的角平分线,$\therefore \angle ABE=\angle CBE=30^{\circ }$,$\because \angle A=30^{\circ }$,$AC=AD$,$\therefore \angle ACD=\angle ADC=\frac {1}{2}×(180^{\circ }-30^{\circ })=75^{\circ }$,$\therefore \angle DMB=\angle ADC-\angle ABE=45^{\circ }$.
(2)$\because \angle ACB=90^{\circ }$,$\angle A=30^{\circ }$,$\therefore AB=2BC$,$\because CH\perp BE$,$\angle CBE=30^{\circ }$,$\therefore BC=2CH$,$\therefore AB=4CH$,$\because \angle CMH=\angle DMB=45^{\circ }$,在$Rt\triangle CHM$中,$\angle HCM=90^{\circ }-\angle CMH=45^{\circ }$,$\therefore \angle CMH=\angle HCM$,$\therefore CH=MH$,$\therefore AB=4MH$.$\because AB=16$,$\therefore MH=\frac {1}{4}AB=4$.

23. (7分)如图(1),$ \triangle ABC $是边长为5 cm的等边三角形,点$ P $,$ Q 分别从顶点 A $,$ B $同时出发,沿线段$ AB $,$ BC $运动,且它们的速度都为$ 1 \mathrm{cm}/\mathrm{s} $. 当点$ P 到达点 B $时,$ P $,$ Q $两点停止运动. 设点$ P 的运动时间为 t $.

(1)当运动时间为$ t $时,$ BQ $的长为 t$\mathrm{cm} $,$ BP $的长为 5 - t$\mathrm{cm} $.(用含$ t $的式子表示)
(2)当$ t $为何值时,$ \triangle PBQ $是直角三角形？
设时间为$t$,则$AP=BQ=t$,$PB=5 - t$.①当$\angle PQB=90^{\circ }$时,$\because \angle B=60^{\circ }$,$\therefore \angle BPQ=30^{\circ }$,$\therefore PB=2BQ$,得$5 - t=2t$,解得$t=\frac {5}{3}$.②当$\angle BPQ=90^{\circ }$时,$\because \angle B=60^{\circ }$,$\therefore \angle BQP=30^{\circ }$,$\therefore BQ=2BP$,得$t=2(5 - t)$,解得$t=\frac {10}{3}$.$\therefore$当第$\frac {5}{3}$秒或第$\frac {10}{3}$秒时,$\triangle PBQ$为直角三角形.
(3)如图(2),连接$ AQ $,$ CP $,相交于点$ M $,则点$ P $,$ Q $在运动的过程中,$ \angle CMQ $会变化吗？若变化,则说明理由；若不变,请求出它的度数.
$\angle CMQ$不变.

答案：
(1)$t$;$(5 - t)$
(2)设时间为$t$,则$AP=BQ=t$,$PB=5 - t$.①当$\angle PQB=90^{\circ }$时,$\because \angle B=60^{\circ }$,$\therefore \angle BPQ=30^{\circ }$,$\therefore PB=2BQ$,得$5 - t=2t$,解得$t=\frac {5}{3}$.②当$\angle BPQ=90^{\circ }$时,$\because \angle B=60^{\circ }$,$\therefore \angle BQP=30^{\circ }$,$\therefore BQ=2BP$,得$t=2(5 - t)$,解得$t=\frac {10}{3}$.$\therefore$当第$\frac {5}{3}$秒或第$\frac {10}{3}$秒时,$\triangle PBQ$为直角三角形.

(3)$\angle CMQ$不变.
（3）$\angle CMQ$不变，$\angle CMQ = 60^{\circ}$。

24. (7分)如图,在四边形$ ABCD $中,已知$ \angle ACB= \angle BAD= 150^{\circ} $,$ \angle ABC= \angle ADC= 45^{\circ} $.
求证：$ CD= AB $.
小刚是这样思考的：由已知可得,$ \angle DCA= 60^{\circ} $,$ \angle DAC= 75^{\circ} $,$ \angle CAB= 30^{\circ} $,$ \angle ACB+\angle DAC= 180^{\circ} $,由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形,即过点$ A 作 AE \perp AB 交 BC 的延长线于点 E $,则$ AB= AE $,$ \angle E= \angle D $.
$ \because 在 \triangle ADC 与 \triangle CEA $中,
$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle D = \angle E , } \\ { \angle D A C = \angle E C A = 75 ^ { \circ } , } \\ { A C = C A , } \end{array} \right. $
$ \therefore \triangle ADC \cong \triangle CEA $. $ \therefore CD= AE= AB $.
请你参考小刚同学思考问题的方法,解决下面的问题：

如图,在四边形$ ABCD $中,$ \angle ACB+\angle CAD= 180^{\circ} $,$ \angle B= \angle D $.
请问：$ CD 与 AB $是否相等？若相等,请你给出证明；若不相等,请说明理由.

答案： $CD=AB$.提示:延长$BC$至$E$,使$AE=AB$.