《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

18. (6 分) 三角形的两边长为 4 和 6,第三条边长 x 最小。
(1) 求 x 的取值范围。
(2) 当 x 为何值时,组成三角形的周长最大？最大值是多少？

答案： $(1)$ 求$x$的取值范围
解：根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”。
已知三角形两边长为$4$和$6$，则$6 - 4\lt x\lt 6 + 4$，即$2\lt x\lt 10$。
又因为$x$最小，所以$2\lt x\leqslant4$。
$(2)$ 求当$x$为何值时，三角形周长最大及最大值
解：三角形周长$C=x + 4 + 6=x + 10$。
由$(1)$知$2\lt x\leqslant4$，因为$C=x + 10$中$x$的系数$1\gt0$，$C$随$x$的增大而增大。
所以当$x = 4$时，周长$C$有最大值。
最大值为$4 + 10=14$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{2\lt x\leqslant4}$；$(2)$当$\boldsymbol{x = 4}$时，周长最大，最大值是$\boldsymbol{14}$。

19. (6 分) 如图,在△ABC 中,∠C = 90°,BE 平分∠ABC,AF 平分外角∠BAD,BE 与 FA 交于点 E,求∠E 的度数。

答案： 45°

20. (6 分) 如图,AD 是△ABC 的中线,BE 是△ABD 的中线。
(1) 在△BED 中作 BD 边上的高。
(2) 若△ABC 的面积为 20,BD = 5,则点 E 到 BC 边的距离为多少？

答案： 1. （1）
过点$E$作$EH\perp BD$于点$H$，$EH$就是$\triangle BED$中$BD$边上的高（作图略）。
2. （2）
解：
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，所以$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$。
已知$S_{\triangle ABC}=20$，则$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}×20 = 10$。
又因为$BE$是$\triangle ABD$的中线，所以$S_{\triangle BED}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}$。
那么$S_{\triangle BED}=\frac{1}{2}×10 = 5$。
设点$E$到$BD$边的距离为$h$（也就是点$E$到$BC$边的距离，因为$BD$在$BC$上），根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（这里$a = BD$，$S = S_{\triangle BED}$）。
已知$BD = 5$，$S_{\triangle BED}=5$，由$S_{\triangle BED}=\frac{1}{2}× BD× h$，即$5=\frac{1}{2}×5× h$。
解方程：
方程两边同时乘以$2$得：$10 = 5h$。
两边同时除以$5$得：$h = 2$。
所以点$E$到$BC$边的距离为$2$。

21. (6 分) 如图,六边形钢架 ABCDEF,由六条钢管铰接而成。为使这一钢架稳固,试用三条钢管连接使之不能活动,方法很多,请至少画出三种方法。

答案：