《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第 5～7 页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题：
1. 三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边.
2. 三角形是具有稳定性的图形.

答案： 1. 大于，小于
2. 稳定性

1. 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
(1)3,4,8；(2)5,6,11；(3)5,6,10.
思考：对于三条线段,当它们满足什么条件时,这三条线段能组成三角形？

答案：
(1)
判断三条线段能否组成三角形，需依据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。
对于 3, 4, 8：
$3 + 4=7\lt 8$，不满足三边关系定理，所以不能组成三角形。
(2)
对于 5, 6, 11：
$5 + 6 = 11$，不满足三边关系定理，所以不能组成三角形。
(3)
对于 5, 6, 10：
$5 + 6=11\gt 10$，
$5 + 10 = 15\gt 6$，
$6 + 10 = 16\gt 5$，
满足三边关系定理，所以能组成三角形。
思考：
对于三条线段$a$，$b$，$c$，当满足$a + b\gt c$，$a + c\gt b$，$b + c\gt a$时，这三条线段能组成三角形。

2. 一根 4 dm 长的木条和两根 1 dm 长的木条,能否组成一个等腰三角形？两根 4 dm 长的木条和一根 1 dm 长的木条呢？

答案： 答题卡：
1. 对于一根$4dm$长的木条和两根$1dm$长的木条：
要判断能否组成等腰三角形，需依据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
假设两根$1dm$的木条为两条腰，则两腰之和为$1 + 1 = 2dm$，因为$2\lt4$，不满足三角形三边关系，所以一根$4dm$长的木条和两根$1dm$长的木条不能组成一个等腰三角形。
2. 对于两根$4dm$长的木条和一根$1dm$长的木条：
设两根$4dm$的木条为两条腰，此时两腰之和为$4 + 4 = 8dm$，$8\gt1$；
两腰之差为$4 - 4 = 0dm$，$0\lt1$；
腰与底边$1dm$比较，$4+1 = 5\gt4$，$4 - 1 = 3\lt4$，满足三角形三边关系，所以两根$4dm$长的木条和一根$1dm$长的木条能组成一个等腰三角形。
综上，一根$4dm$长的木条和两根$1dm$长的木条不能组成等腰三角形；两根$4dm$长的木条和一根$1dm$长的木条能组成等腰三角形。

3. 三角形在生活中有着广泛的应用,例如自行车的车架做成三角形,篮球架的框架做成三角形的形状,这里面有什么道理呢？

答案： 答：三角形具有稳定性，在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边（遵循三角形三边关系原则（性质）），其形状是固定的，不会轻易变形。而自行车车架、篮球架的框架做成三角形的形状，正是利用了三角形的稳定性，使自行车在骑行过程中车架不易变形，篮球架在使用过程中框架能保持稳固。

4. 四边形的不稳定性是我们常常需要克服的,那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有,你能举出实例吗？

答案： 有应用价值。实例：伸缩门、晾衣架、折叠椅。

例 用一条长 18 cm 的细绳围成一个等腰三角形.
(1) 如果腰长是底边长的 2 倍,那么各边的长是多少？
(2) 能围成有一边是 4 cm 的等腰三角形吗？为什么？
思考：若设底边长为 $ x $ cm,则腰长是多少？

答案：
(1)
设底边长为$x$ cm，因为腰长是底边长的2倍，则腰长为$2x$ cm。
根据三角形周长公式$C = a+b + c$（$C$为周长，$a,b,c$为三边），可得$x + 2x+2x=18$，
即$5x = 18$，
解得$x=\frac{18}{5}=3.6$，
$2x = 2×3.6 = 7.2$。
此时三边分别为$7.2$ cm，$7.2$ cm，$3.6$ cm。
因为$7.2+3.6\gt7.2$，$7.2 + 7.2\gt3.6$，满足三角形三边关系。
所以各边长分别为$7.2$ cm，$7.2$ cm，$3.6$ cm。
(2)
分两种情况讨论：
当$4$ cm为底边时，腰长为$\frac{18 - 4}{2}=7$ cm。
此时三边分别为$7$ cm，$7$ cm，$4$ cm。
因为$7+4\gt7$，$7 + 7\gt4$，满足三角形三边关系，所以可以构成等腰三角形。
当$4$ cm为腰长时，底边长为$18-4×2 = 10$ cm。
因为$4+4 = 8\lt10$，不满足三角形三边关系，所以不能构成三角形。
综上，能围成有一边是$4$ cm的等腰三角形，此时三边为$7$ cm，$7$ cm，$4$ cm。
思考：若设底边长为$x$ cm，因为等腰三角形两腰相等，且周长为$18$ cm，所以腰长为$\frac{18 - x}{2}$ cm。