《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第 15～16 页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
(1)三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫作三角形的外角.
(2)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

答案：
(1)延长线；
(2)不相邻。

1. 三角形的外角同它相邻的内角有什么关系？
2. 三角形的一个外角与一个不相邻的内角有什么关系？
3. 说出下列图形中$∠1和∠2$的度数.

4. 直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？

答案： 1. 三角形的外角与它相邻的内角互补，即和为$180^{\circ}$。
2. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
3. （1）$\angle1 = 180^{\circ}-(80^{\circ} + 60^{\circ})=40^{\circ}$，$\angle2 = 180^{\circ}-\angle1 = 140^{\circ}$；（2）$\angle1 = 30^{\circ}+40^{\circ}=70^{\circ}$，$\angle2 = 180^{\circ}-\angle1 = 110^{\circ}$；（3）$\angle1 = 90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$，$\angle2 = 180^{\circ}-\angle1 = 130^{\circ}$；（4）$\angle ACD=180^{\circ}-40^{\circ}-70^{\circ}=70^{\circ}$，$\angle2 = 180^{\circ}-70^{\circ}-40^{\circ}=70^{\circ}$，$\angle1=\frac{1}{2}\angle ACD = 35^{\circ}$。
4. 直角三角形的外角不可以是锐角。因为直角三角形的内角有一个是$90^{\circ}$，另外两个内角和为$90^{\circ}$，所以另外两个内角都是锐角，它们的外角都是钝角，直角的外角是直角，所以直角三角形的外角不可以是锐角。

例 如图,$∠BAE$,$∠CBF$,$∠ACD是\triangle ABC$的三个外角,它们的和是多少？

归纳总结：求三角形的外角和可以转化为求三角形的内角和,再根据三角形内角和定理进行解答.

答案： $ \angle BAE = 180^{\circ} - \angle BAC $，
$ \angle CBF = 180^{\circ} - \angle ABC $，
$ \angle ACD = 180^{\circ} - \angle ACB $。
将这三个外角相加：
$ \angle BAE + \angle CBF + \angle ACD = (180^{\circ} - \angle BAC) + (180^{\circ} - \angle ABC) + (180^{\circ} - \angle ACB) $
$ = 540^{\circ} - (\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB) $
根据三角形的内角和定理，三角形的内角和为 $180^{\circ}$：
$ \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} $
因此：
$ \angle BAE + \angle CBF + \angle ACD = 540^{\circ} - 180^{\circ} = 360^{\circ} $
所以，$ \angle BAE $、$ \angle CBF $、$ \angle ACD $ 这三个外角的和是 $360^{\circ}$。

1. 如图,$AB// CD$,$∠A = 40^{\circ}$,$∠D = 45^{\circ}$,求$∠1和∠2$的度数.

答案： ∠1=40°,∠2=85°

2. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$∠B = 40^{\circ}$,$AD平分∠CAB$. 求$∠CAD和∠ADB$的度数.

答案： ∠CAD=25°,∠ADB=115°