《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第7～8页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题：
1. 在三角形中,连接一个顶点和它所对的边的中点,所得的线段叫作三角形的中线. 三角形的三条中线相交于一点,三条中线的交点叫作三角形的重心.
2. 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 三角形的三条角平分线相交于一点.
3. 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线,顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高. 三角形的三条高(或所在的直线)交于一点.

答案： 1. 中点
2. 线段
3. 线段

1. 如图,过△ABC的顶点A分别画出它的中线、角平分线和高.

答案： 1. 中线：
取$BC$中点$D$，连接$AD$，$AD$即为$BC$边上的中线。
2. 角平分线：
作$\angle BAC$的平分线，交$BC$于点$E$，$AE$即为$\angle BAC$的角平分线。
3. 高：
过点$A$作$AH\perp BC$，垂足为$H$，$AH$即为$BC$边上的高。

2. 如图,AD,AE,AF分别是△ABC的中线、角平分线和高. 请指出图中相等的角和相等的线段.

答案： 相等的角：∠BAE=∠CAE；∠AFB=∠AFC=90°。
相等的线段：BD=DC。

3. 三角形的中线是线段,具有平分三角形面积的特点；三角形的角平分线是线段,而角平分线是射线,要注意二者的区别.

答案： 本题主要考查三角形中线和角平分线的概念。
- **三角形中线：
三角形的中线是连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$表示底边长，$h$表示这条底边对应的高），因为中线将对边平分，即分成的两条线段长度相等，且这两个小三角形的高与原三角形的高相同，所以三角形的中线具有平分三角形面积的特点。
- **三角形角平分线与角平分线：
三角形的角平分线：是指三角形内角的平分线与对边相交，其顶点与对边交点之间的线段。
角平分线：是从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线。
综上，该表述**正确**。

例1 如图,AD,BE,CF是△ABC的三条中线,则AB = 2AF,BD = DC,AE = $\frac{1}{2}$AC.

答案： AF；DC；AC

例2 如图,AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线,则∠1 = ∠BAC/2,∠3 = $\frac{1}{2}$∠ABC,∠ACB = 2∠2.

答案： ∠BAC/2；∠ABC；∠2

1. 分别指出图中△ABC的三条高.

答案： 1. 对于图（1）：
根据三角形高的定义（从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高）。
$AB$边上的高是$BC$（因为$\angle B = 90^{\circ}$，$BC\perp AB$）；$BC$边上的高是$AB$（$AB\perp BC$）；$AC$边上的高是$BD$（$BD\perp AC$，$D$为垂足）。
2. 对于图（2）：
$BC$边上的高是$AD$（$AD\perp BC$，$D$为垂足）；$AB$边上的高是$CE$（$CE\perp AB$的延长线，$E$为垂足）；$AC$边上的高是$BF$（$BF\perp AC$，$F$为垂足）。
综上，图（1）中$\triangle ABC$的三条高分别是$AB$，$BC$，$BD$；图（2）中$\triangle ABC$的三条高分别是$AD$，$CE$，$BF$。

2. 如图,在△ABC中,AE是中线,AD是角平分线,AF是高. 填空：

(1) $BE = $EC$=\frac{1}{2}$BC；
(2) $∠BAD = $∠DAC$=\frac{1}{2}$∠BAC；
(3) $∠AFB = $∠AFC$= 90^{\circ}$；
(4) $S_{△ABC} = $$\frac{1}{2}AF\cdot BC$.

答案：
(1)EC；BC
(2)∠DAC；∠BAC
(3)∠AFC
(4)$\frac{1}{2}AF\cdot BC$