《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

例5 已知$(x - 1)^{x + 6}= 1$,求$x$的值.

答案： 分三种情况讨论：
1. 底数为1时：$x - 1 = 1$，解得$x = 2$。此时指数$x + 6 = 8$，$1^8 = 1$，成立。
2. 指数为0且底数不为0时：$x + 6 = 0$，解得$x = -6$。此时底数$x - 1 = -7 \neq 0$，$(-7)^0 = 1$，成立。
3. 底数为-1且指数为偶数时：$x - 1 = -1$，解得$x = 0$。此时指数$x + 6 = 6$（偶数），$(-1)^6 = 1$，成立。
综上，$x$的值为$-6$，$0$，$2$。

例6 在日历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律,如图是2012年8月份的日历. 我们任意选择其中所示的方框部分,将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘,再相减,例如：$7×13 - 6×14 = 7$,$17×23 - 16×24 = 7$,不难发现,结果都是7.

(1) 请你再选择两个类似的部分试一试,看看是否符合这个规律.
(2) 换一个月的月历试一下,是否有同样的规律？
(3) 请你利用整式的运算对以上的规律加以证明.

答案：
(1) 选择方框一：以1（三）、2（四）、8（三）、9（四）为例，计算：$2×8 - 1×9 = 16 - 9 = 7$；
选择方框二：以20（一）、21（二）、27（一）、28（二）为例，计算：$21×27 - 20×28 = 567 - 560 = 7$。均符合规律。
(2) 以2023年10月日历（1日为周日）中9（一）、10（二）、16（一）、17（二）为例，计算：$10×16 - 9×17 = 160 - 153 = 7$，有同样规律。
(3) 证明：设2×2方框中左上角的数为$a$，则右上角为$a+1$，左下角为$a+7$，右下角为$a+8$。
交叉相乘再相减：$(a+1)(a+7) - a(a+8)$
$= a^2 + 7a + a + 7 - (a^2 + 8a)$
$= a^2 + 8a + 7 - a^2 - 8a$
$= 7$。
故规律成立。

1. 下列计算结果为$a^{6}$的是(D)
A.$a^{2}\cdot a^{3}$
B.$a^{12}÷ a^{2}$
C.$a^{3}+a^{3}$
D.$(a^{2})^{3}$

答案： D

2. 计算$(\underbrace{a\cdot a…\cdot\cdot a}_{a个})^{3}$的结果是(D)
A.$a^{5}$
B.$a^{6}$
C.$a^{a + 3}$
D.$a^{3a}$

答案： D

3. 下列运算正确的是(A)

A.$2ab + 3ab = 5ab$
B.$(ab^{2})^{3}= a^{3}b^{5}$
C.$a^{8}÷ a^{2}= a^{4}$
D.$a^{2}\cdot a^{3}= a^{6}$

答案： A

4. 据统计,2023年我国新能源汽车产量超过944万辆,其中944万用科学记数法表示为(B)
A.$0.944×10^{7}$
B.$9.44×10^{6}$
C.$9.44×10^{7}$
D.$94.4×10^{6}$

答案： B

5. 计算：
(1)$a(-a)(-a)^{2}$；
(2)$(-3mn^{2})^{3}$；
(3)$a^{2}\cdot(a^{2})^{3}÷ a^{6}$；
(4)$(-\frac{1}{2}c)^{2}\cdot c^{n + 3}÷(2c)^{3}$；
(5)$(xy^{2})^{2}(-6x^{2}y)$；
(6)$(ab^{2})(ab^{2}+ab - a)$；
(7)$49.8×50.2$；
(8)$199^{2}$.

答案： 1. （1）
解：
根据同底数幂乘法法则$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$，$(-a)^2=a^2$，则$a(-a)(-a)^{2}=a\cdot(-a)\cdot a^{2}$。
再根据乘法结合律$a\cdot(-a)\cdot a^{2}=[1×(-1)×1]a^{1 + 1+2}$。
所以$a(-a)(-a)^{2}=-a^{4}$。
2. （2）
解：
根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$，$(-3mn^{2})^{3}=(-3)^3m^3(n^{2})^{3}$。
再根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，$(-3)^3m^3(n^{2})^{3}=-27m^3n^{6}$。
3. （3）
解：
先根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，$(a^{2})^{3}=a^{6}$，则$a^{2}\cdot(a^{2})^{3}÷ a^{6}=a^{2}\cdot a^{6}÷ a^{6}$。
再根据同底数幂乘除法法则$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$，$a^m÷ a^n=a^{m - n}$，$a^{2}\cdot a^{6}÷ a^{6}=a^{2 + 6-6}$。
所以$a^{2}\cdot(a^{2})^{3}÷ a^{6}=a^{2}$。
4. （4）
解：
先根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$，$(-\frac{1}{2}c)^{2}=\frac{1}{4}c^{2}$，$(2c)^{3}=8c^{3}$。
则$(-\frac{1}{2}c)^{2}\cdot c^{n + 3}÷(2c)^{3}=\frac{1}{4}c^{2}\cdot c^{n + 3}÷8c^{3}$。
再根据同底数幂乘除法法则$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$，$a^m÷ a^n=a^{m - n}$，$\frac{1}{4}c^{2}\cdot c^{n + 3}÷8c^{3}=\frac{1}{4}×\frac{1}{8}c^{2+(n + 3)-3}$。
所以$(-\frac{1}{2}c)^{2}\cdot c^{n + 3}÷(2c)^{3}=\frac{1}{32}c^{n + 2}$。
5. （5）
解：
先根据积的乘方法则$(ab)^n=a^n b^n$，$(xy^{2})^{2}=x^{2}y^{4}$。
则$(xy^{2})^{2}(-6x^{2}y)=x^{2}y^{4}\cdot(-6x^{2}y)$。
再根据同底数幂乘法法则$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$，$x^{2}y^{4}\cdot(-6x^{2}y)=-6x^{2 + 2}y^{4+1}$。
所以$(xy^{2})^{2}(-6x^{2}y)=-6x^{4}y^{5}$。
6. （6）
解：
根据单项式乘多项式法则$m(a + b + c)=ma+mb+mc$，$(ab^{2})(ab^{2}+ab - a)=ab^{2}\cdot ab^{2}+ab^{2}\cdot ab - ab^{2}\cdot a$。
再根据同底数幂乘法法则$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$，$ab^{2}\cdot ab^{2}+ab^{2}\cdot ab - ab^{2}\cdot a=a^{1 + 1}b^{2+2}+a^{1 + 1}b^{2 + 1}-a^{1+1}b^{2}$。
所以$(ab^{2})(ab^{2}+ab - a)=a^{2}b^{4}+a^{2}b^{3}-a^{2}b^{2}$。
7. （7）
解：
把$49.8×50.2$变形为$(50 - 0.2)(50 + 0.2)$。
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a = 50$，$b = 0.2$，则$(50 - 0.2)(50 + 0.2)=50^{2}-0.2^{2}$。
计算得$50^{2}-0.2^{2}=2500 - 0.04=2499.96$。
8. （8）
解：
把$199^{2}$变形为$(200 - 1)^{2}$。
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = 200$，$b = 1$，则$(200 - 1)^{2}=200^{2}-2×200×1+1^{2}$。
计算得$200^{2}-2×200×1+1^{2}=40000-400 + 1=39601$。
综上，答案依次为：（1）$-a^{4}$；（2）$-27m^{3}n^{6}$；（3）$a^{2}$；（4）$\frac{1}{32}c^{n + 2}$；（5）$-6x^{4}y^{5}$；（6）$a^{2}b^{4}+a^{2}b^{3}-a^{2}b^{2}$；（7）$2499.96$；（8）$39601$。