《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第80~81页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
(1) 等腰三角形的判定方法:如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).
(2) 等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”互为逆定理.

答案： 相等

1. 如图(1),$∠A= 36^{\circ}$,$∠DBC= 36^{\circ}$,$∠C= 72^{\circ}$,分别计算$∠1$,$∠2$的度数,并说明图中有哪些等腰三角形.

答案： 在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，由三角形内角和定理得∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-36°-72°=72°。
∠2=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°。
在△BDC中，∠DBC=36°，∠C=72°，由三角形内角和定理得∠1=∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°。
等腰三角形：
△ABC：∠ABC=∠C=72°，故AB=AC；
△ABD：∠A=∠ABD=36°，故AD=BD；
△BDC：∠BDC=∠C=72°，故BD=BC。
∠1=72°，∠2=36°；等腰三角形为△ABC，△ABD，△BDC。

2. 如图(2),把一张长方形的纸沿对角线折叠,重合部分是一个等腰三角形吗? 为什么?

答案： 重合部分是等腰三角形。理由如下：
设长方形ABCD，沿对角线AC折叠，点B落在点B'处，B'C交AD于点E。
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC（长方形对边平行），
∴∠DAC=∠BCA（两直线平行，内错角相等）。
由折叠性质得：∠BCA=∠B'CA，
∴∠DAC=∠B'CA（等量代换）。
在△AEC中，∠DAC=∠ECA，
∴AE=CE（等角对等边），
∴△AEC是等腰三角形，即重合部分是等腰三角形。

例1 求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.

答案： 已知：在△ABC中，∠DAC是外角，AE平分∠DAC，且AE//BC。
求证：△ABC是等腰三角形。
证明：
∵AE平分∠DAC（已知）
∴∠DAE=∠CAE（角平分线定义）
∵AE//BC（已知）
∴∠DAE=∠B（两直线平行，同位角相等）
∠CAE=∠C（两直线平行，内错角相等）
∴∠B=∠C（等量代换）
∴AB=AC（等角对等边）
∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形定义）
结论：△ABC是等腰三角形。

例2 已知等腰三角形底边长为$a$,底边上的高的长为$h$.作这个等腰三角形.

答案： 作法：
1.作底边$BC = a$。
2.作底边$BC$的垂直平分线$MN$，$MN$与$BC$相交于点$D$，$D$为$BC$中点。
3.在$MN$上截取$DA = h$。
4.连接$AB$，$AC$。
$\triangle ABC$即为所求作的等腰三角形。

1. 如图,$AC和BD相交于点O$,且$AB// DC$,$OA= OB$.求证:$OC= OD$.

答案： 提示:证∠C=∠D.

2. 如图,$\triangle ABC$中,$BO平分∠ABC$,$CO平分∠ACB$,$MN经过点O$,与$AB$,$AC相交于点M$,$N$,且$MN// BC$.求证:$\triangle AMN的周长等于AB+AC$.

答案： 提示:证∠MBO=∠MOB,∠NCO=∠NOC.