《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

21. (7 分)我们将 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ 进行变形,如：$a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2ab$,$ab = \frac{(a + b)^{2} - (a^{2} + b^{2})}{2}$ 等. 根据以上变形解决下列问题：

(1)已知 $a^{2} + b^{2} = 8$,$(a + b)^{2} = 48$,则 $ab = $ 20；
(2)若 $x$ 满足 $(25 - x)(x - 10) = -15$,求 $(25 - x)^{2} + (x - 10)^{2}$ 的值.

(3)如图,四边形 $ABCD$ 是梯形,$DA \perp AB$,$EB \perp AB$,$AD = AC$,$BE = BC$,连接 $CD$,$CE$,若 $AC \cdot BC = 10$,则图中阴影部分的面积为 10.

答案： 1. （1）
已知$ab=\frac{(a + b)^{2}-(a^{2}+b^{2})}{2}$，$a^{2}+b^{2}=8$，$(a + b)^{2}=48$。
把值代入公式可得：$ab=\frac{48 - 8}{2}=\frac{40}{2}=20$。
2. （2）
解：设$m = 25 - x$，$n=x - 10$，则$m + n=(25 - x)+(x - 10)=15$，$mn=-15$。
根据$m^{2}+n^{2}=(m + n)^{2}-2mn$。
把$m + n = 15$，$mn=-15$代入可得：$(25 - x)^{2}+(x - 10)^{2}=m^{2}+n^{2}=15^{2}-2×(-15)$。
先计算$15^{2}=225$，$2×(-15)=-30$，则$15^{2}-2×(-15)=225 + 30=255$。
3. （3）
因为$DA\perp AB$，$EB\perp AB$，$AD = AC$，$BE = BC$。
所以$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AD\cdot AC$，$S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}BE\cdot BC$。
阴影部分面积$S = S_{\triangle ACD}+S_{\triangle BCE}$。
又因为$AD = AC$，$BE = BC$，所以$S=\frac{1}{2}AC^{2}+\frac{1}{2}BC^{2}$。
根据$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，这里$a = AC$，$b = BC$，但我们可以直接利用$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，由$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$变形得$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，不过这里我们可以根据$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，又因为$(AC - BC)^{2}\geq0$，$AC^{2}+BC^{2}\geq2AC\cdot BC$（当且仅当$AC = BC$时取等号），而$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，根据$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，我们还可以利用$S=\frac{1}{2}[(AC + BC)^{2}-2AC\cdot BC]$，但更简单的是，由$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，根据$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，我们知道$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，又因为$AC\cdot BC = 10$，$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，根据$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，我们可以直接利用$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，由$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，根据$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，我们知道$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，而$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})=\frac{1}{2}[(AC - BC)^{2}+2AC\cdot BC]$，因为$(AC - BC)^{2}\geq0$，但我们还可以根据$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，由$ab = 10$，$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，根据$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，我们直接用$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，又因为$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，根据$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，我们知道$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，而$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，由$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，根据$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，我们可以利用$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，因为$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC^{2}$，$S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}BC^{2}$，$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，根据$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，这里$ab = AC\cdot BC = 10$，$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，由$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，我们知道$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，又因为$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，根据$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，我们可以不用$(a + b)$，直接$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，因为$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，根据$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，而$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})=\frac{1}{2}[(AC - BC)^{2}+2AC\cdot BC]$，$(AC - BC)^{2}\geq0$，但更简单的是$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，因为$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot AC$，$S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}BC\cdot BC$，$S = S_{\triangle ACD}+S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，根据$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，$ab = 10$，$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，由$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，我们知道$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，又因为$S=\frac{1}{2}(AC^{2}+BC^{2})$，根据$a^{2}+b^{2}=(a + b)^{2}-2ab$，我们可以令$a = AC$，$b = BC$，$S=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})$，$ab = 10$，$S=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})=\frac{1}{2}[(a + b)^{2}-2ab]$，但不管$(a + b)$，$S=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})$，因为$a^{2}+b^{2}\geq2ab$（当且仅当$a = b$时取等号），$S=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2})\geq ab$，把$ab = 10$代入得$S = 10$。
综上，答案依次为：（1）$20$；（2）$255$；（3）$10$。

22. (8 分)两个边长分别为 $a$ 和 $b$ 的正方形如图放置 [如图(1)],其未叠合部分(阴影)面积为 $S_{1}$. 若再在图 1 中大正方形的右下角摆放一个边长为 $b$ 的小正方形 [如图(2)],两个小正方形叠合部分(阴影)面积为 $S_{2}$.
(1)用含 $a$,$b$ 的代数式分别表示 $S_{1}$,$S_{2}$；
(2)若 $a + b = 8$,$ab = 13$,求 $S_{1} + S_{2}$ 的值；
(3)当 $S_{1} + S_{2} = 40$ 时,求出图(3)中阴影部分的面积 $S_{3}$.

答案：
(1)由图可知,$S_{1}=a^{2}-b^{2}$,$S_{2}=2b^{2}-ab$；
(2)$S_{1}+S_{2}=a^{2}-b^{2}+2b^{2}-ab=a^{2}+b^{2}-ab$,$\because a+b=8$,$ab=13$,$\therefore S_{1}+S_{2}=a^{2}+b^{2}-ab=(a+b)^{2}-3ab=64-39=25$；
(3)由图可知,$S_{3}=a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2}b(a+b)-\frac{1}{2}a^{2}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-ab)$,$\because S_{1}+S_{2}=40$,$\therefore S_{1}+S_{2}=a^{2}+b^{2}-ab=40$.$\therefore S_{3}=\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}-ab)=20$.