《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图,在$△ABC$中,$AD$是角平分线,且$BD= CD$,$DE⊥AB$,$DF⊥AC$,垂足分别为$E$,$F$. 求证:$EB= FC$.

答案： 提示:证Rt△BDE≌Rt△CDF.

2. 如图,$AB// CD$,$PB和PC分别平分∠ABC和∠DCB$,$AD过点P$,且与$AB$垂直. 求证:$PA= PD$.

答案： 证明：过点P作PE⊥BC于点E.
∵AD⊥AB，AB//CD，
∴AD⊥CD，即PA⊥AB，PD⊥CD.
∵PB平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PA=PE（角平分线上的点到角两边距离相等）.
∵PC平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边距离相等）.
∴PA=PD.

3. 如图,点$P$,$D在∠AOB$的平分线上,$OA= OB$,$PM⊥BD$,$PN⊥AD$,垂足分别是点$M$,$N$. 求证:
(1)$∠BDO= ∠ADO$;
(2)$PM= PN$.

答案： 1. 证明$\angle BDO=\angle ADO$：
解：因为$OD$是$\angle AOB$的平分线，所以$\angle BOD = \angle AOD$。
在$\triangle BOD$和$\triangle AOD$中，$\begin{cases}OB = OA\\\angle BOD=\angle AOD\\OD = OD\end{cases}$（已知$OA = OB$，$OD$为公共边）。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle BOD\cong\triangle AOD$。
由全等三角形的对应角相等，所以$\angle BDO=\angle ADO$。
2. 证明$PM = PN$：
解：因为$\angle BDO=\angle ADO$，$PM\perp BD$，$PN\perp AD$。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
点$P$在$\angle ADB$的平分线上（$\angle BDO=\angle ADO$，$PD$为$\angle ADB$的平分线），$PM$是点$P$到$BD$的距离，$PN$是点$P$到$AD$的距离。
所以$PM = PN$。
综上，（1）通过证明$\triangle BOD\cong\triangle AOD(SAS)$得出$\angle BDO=\angle ADO$；（2）利用角平分线的性质得出$PM = PN$。

如图,$AB= AC$,$AD= AE$,$BE与CD相交于点P$.
(1) 求证:$PC= PB$.
(2) 求证:$∠CAP= ∠BAP$.
(3) 由(2) 的结论,你能设计一种画角的平分线的方法吗?

答案： 1. （1）证明$PC = PB$：
解：
在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，
已知$AB = AC$，$AD = AE$，$\angle BAE=\angle CAD$（公共角）。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle ACD$。
所以$\angle B=\angle C$。
又因为$AB = AC$，$AD = AE$，所以$BD=AB - AD$，$CE=AC - AE$，即$BD = CE$。
在$\triangle BDP$和$\triangle CEP$中，
$\angle BPD=\angle CPE$（对顶角相等），$\angle B=\angle C$，$BD = CE$。
根据$AAS$（角角边）定理，可得$\triangle BDP\cong\triangle CEP$。
所以$PC = PB$。
2. （2）证明$\angle CAP=\angle BAP$：
解：
连接$AP$。
在$\triangle ACP$和$\triangle ABP$中，
$AC = AB$，$PC = PB$，$AP = AP$（公共边）。
根据$SSS$（边边边）定理，可得$\triangle ACP\cong\triangle ABP$。
所以$\angle CAP=\angle BAP$。
3. （3）画角平分线的方法：
解：
方法：以角的顶点$A$为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于$B$、$C$两点；再分别以$B$、$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}BC$长为半径画弧，两弧交于点$D$；连接$AD$，则$AD$就是这个角的平分线（原理同本题，通过构造全等三角形证明$AD$平分角）。
综上，（1）已证$PC = PB$；（2）已证$\angle CAP=\angle BAP$；（3）画角平分线方法如上述。