《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

2. 如图,$AB = AD$,$\angle 1 = \angle 2$. 再添加一个什么条件,可使$\triangle ABC \cong \triangle ADE$？说明理由.

答案： AC=AE,理由略.

3. 如图,$AC = BD$,$\angle CAB = \angle DBA$. 求证：$BC = AD$,$\angle C = \angle D$.

答案： 提示:AB是公共边,证△ABC≌△BAD即可.

4. 如图,$MS \perp PS$,$MN \perp SN$,$PQ \perp SN$,垂足分别为$S$,$N$,$Q$,且$MS = PS$. 求证：$\triangle MNS \cong \triangle SQP$.

答案： 提示:证∠M=∠QSP.

5. 如图,已知$\angle \alpha$,$\angle \beta$,线段$a$. 完成下面的尺规作图：
(1) $\angle \alpha - \angle \beta$；
(2) $\triangle ABC$,使$\angle A = \angle \alpha$,$\angle B = \angle \beta$,$BC = a$.

答案：
(1) ①作射线OA；②以∠α顶点为圆心，任意长为半径画弧，交两边于M、N；③以O为圆心，同长为半径画弧，交OA于P；④以P为圆心，MN长为半径画弧，交前弧于Q，连OQ得∠AOQ=∠α；⑤在∠AOQ内，以O为顶点，OQ为边作∠QOD=∠β；⑥则∠AOD=∠α-∠β。
(2) ①作线段BC=a；②以B为顶点，BC为一边作∠DBC=∠β；③作∠γ=∠α+∠β（作∠α，外部以一边作∠β）；④作∠C=180°-∠γ（∠γ补角）；⑤以C为顶点，CB为一边作∠BCE=∠C，交BD于A；⑥则△ABC即为所求。

6. 如图,$AB = AD$,$BC = CD$,$AC与BD交于点O$.
(1) 求证：$OB = OD$.
(2) 若$AC = 8$,$BD = 6$,求$\triangle ABC$的面积.

答案： 1. （1）证明：
在$\triangle ABC$和$\triangle ADC$中，
已知$\left\{\begin{array}{l}AB = AD\\BC = CD\\AC = AC\end{array}\right.$（公共边）。
根据$SSS$（边 - 边 - 边）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle ADC$。
所以$\angle BAC=\angle DAC$（全等三角形对应角相等）。
在$\triangle ABO$和$\triangle ADO$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AD\\\angle BAO=\angle DAO\\AO = AO\end{array}\right.$（公共边）。
根据$SAS$（边 - 角 - 边）全等判定定理，可得$\triangle ABO\cong\triangle ADO$。
所以$OB = OD$（全等三角形对应边相等）。
2. （2）解：
因为$\triangle ABC\cong\triangle ADC$，所以$AC\perp BD$（全等三角形对应高相等，等腰三角形三线合一）。
已知$AC = 8$，$BD = 6$，$OB = OD=\frac{1}{2}BD = 3$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（这里$a$为底，$h$为高），对于$\triangle ABC$，以$AC$为底，$BO$为高。
则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BO$。
把$AC = 8$，$BO = 3$代入公式，可得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×8×3=12$。
综上，（1）已证$OB = OD$；（2）$\triangle ABC$的面积为$12$。

7. 如图,点$D是\triangle ABC$外一点,连接$BD$,$AD$,$AD与BC交于点O$. 下列三个等式：①$BC = AD$；②$\angle ABC = \angle BAD$；③$AC = BD$. 请从这三个等式中,任选两个作为已知条件,剩下的一个作为结论,组成一个真命题,将你选择的等式或等式的序号填在下面对应的横线上,然后对该真命题进行证明.
已知：___①,___②.
求证：___③.

证明:在△ABC和△BAD中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AB,\\ ∠ABC=∠BAD,\\ BC=AD,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△BAD(SAS),
∴AC=BD.

答案： 已知:BC=AD,∠ABC=∠BAD.求证:AC=BD.证明:在△ABC和△BAD中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AB,\\ ∠ABC=∠BAD,\\ BC=AD,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△BAD(SAS),
∴AC=BD.