《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

例 2 分解因式：
(1)$9x^{2} - 4y^{2}$；
(2)$(3a - 1)^{2} - 9$；
(3)$m^{3} - 16m$；
(4)$3xy^{3} - 3xy$.

答案：
(1)
解：原式$=(3x)^{2}-(2y)^{2}$
$=(3x + 2y)(3x - 2y)$
(2)
解：原式$=(3a - 1)^{2}-3^{2}$
$=(3a - 1 + 3)(3a - 1 - 3)$
$=(3a + 2)(3a - 4)$
(3)
解：原式$=m(m^{2}-16)$
$=m(m^{2}-4^{2})$
$=m(m + 4)(m - 4)$
(4)
解：原式$=3xy(y^{2}-1)$
$=3xy(y + 1)(y - 1)$

例 3 分解因式：
(1)$a^{2} + 14a + 49$；
(2)$mx^{2} - 2m^{2}x + m^{3}$；
(3)$(a + b)^{2} - 6(a + b) + 9$；
(4)$(3n - 2)^{2} + (3n - 2) + \frac{1}{4}$.

答案：
(1)
解：原式 $a^{2} + 14a + 49$
= $a^{2} + 2 × 7 × a + 7^{2}$
= $(a + 7)^{2}$
(2)
解：原式 $mx^{2} - 2m^{2}x + m^{3}$
= $m(x^{2} - 2mx + m^{2})$
= $m(x - m)^{2}$
(3)
解：原式 $(a + b)^{2} - 6(a + b) + 9$
= $(a + b)^{2} - 2 × 3 × (a + b) + 3^{2}$
= $(a + b - 3)^{2}$
(4)
解：设 $3n - 2 = x$，则原式 $(3n - 2)^{2} + (3n - 2) + \frac{1}{4}$
= $x^{2} + x + \frac{1}{4}$
= $x^{2} + 2 × \frac{1}{2}x + (\frac{1}{2})^{2}$
= $(x + \frac{1}{2})^{2}$
将 $x = 3n - 2$ 代入得：
= $(3n - 2 + \frac{1}{2})^{2}$
= $(3n - \frac{3}{2})^{2}$
= $9(n - \frac{1}{2})^{2}$（或者写成$(3n - 1.5)^{2}$，两者等价）

例 4 常用的分解因式方法有提公因式、公式法等,但有的多项式只用上述方法无法分解,如$x^{2} - 4y^{2} + 2x - 4y$. 细心观察这个式子会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式. 过程为：
$x^{2} - 4y^{2} + 2x - 4y$
$= (x^{2} - 4y^{2}) + (2x - 4y)$
$= (x + 2y)(x - 2y) + 2(x - 2y)$
$= (x - 2y)(x + 2y + 2)$
这种分解因式的方法叫分组分解法,利用这种方法解决下列问题.
(1) 分解因式：$x^{2} - 6xy + 9y^{2} - 3x + 9y$.
(2)$\triangle ABC的三边a$,$b$,$c满足a^{2} - b^{2} - ac + bc = 0$,判断$\triangle ABC$的形状.

答案：
(1) $x^{2} - 6xy + 9y^{2} - 3x + 9y$
$=(x^{2}-6xy+9y^{2})+(-3x+9y)$
$=(x-3y)^{2}-3(x-3y)$
$=(x-3y)(x-3y-3)$
(2) $a^{2}-b^{2}-ac+bc=0$
$(a^{2}-b^{2})+(-ac+bc)=0$
$(a+b)(a-b)-c(a-b)=0$
$(a-b)(a+b-c)=0$
$\because a,b,c$是$\triangle ABC$的三边
$\therefore a+b-c＞0$
$\therefore a-b=0$，即$a=b$
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形