《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

2. 如图,已知AB= DC,AC= DB.求证:∠BCD= ∠CBA.

答案： 提示:BC是公共边.

3. 如图,AB= AD,BC= CD.求证:∠B= ∠D.

答案： 提示:连接AC,证△ABC≌△ADC.

1. 利用“边边边”判定三角形全等时,要注意什么?

答案： 要注意所选取的三个边必须是两个三角形的对应边，且三组对应边分别相等才能判定两个三角形全等。

2. 通过今天的学习,谈谈你对三角形稳定性的认识.

答案： 三角形的稳定性是指三角形具有稳固、坚定、不易变形的特性，以下是对三角形稳定性的认识：
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就唯一确定了，不会发生变形，这是因为通过“$SSS$”（边边边）全等判定定理，若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等，所以相同三边长度的三角形无论在何处构造，其形状和大小都一样，具有稳定性。
三角形的稳定性在实际生活和生产中有广泛应用，如自行车的车架、篮球架的支架、房屋的人字梁等都做成三角形形状，利用的就是三角形的稳定性，使这些结构更加牢固。
结论：三角形的稳定性由其三边长度唯一确定其形状和大小这一性质决定，在生活和生产中具有重要应用价值。

1. 如图,C是AB的中点,AD= BE,CD= CE.求证:∠A= ∠B.

答案：
∵C是AB的中点,
∴AC = BC.在△ACD和△BCE中,$\left\{\begin{array}{l} AC=BC,\\ AD=BE,\\ CD=CE,\end{array}\right. $
∴△ACD≌△BCE(SSS).
∴∠A=∠B.

2. 如图,已知AB= CD,点E,F在线段BD上,且AF= CE.
请从①BF= DE;②∠BAF= ∠DCE;③AF= CF中.选择一个合适的选项作为已知条件,使得△ABF≌△CDE.你添加的条件是:①(只填写一个序号).
添加条件后,请证明AB//CD.

答案： 当选择①BF = DE时,△ABF≌△CDE,证明如下:在△ABF和△CDE中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ AF=CE,\\ BF=DE,\end{array}\right. $
∴△ABF≌△CDE(SSS),
∴∠B=∠D.
∴AB//CD;当选择②∠BAF=∠DCE时,△ABF≌△CDE,证明如下:在△ABF和△CDE中,$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ ∠BAF=∠DCE,\\ AF=CE,\end{array}\right. $
∴△ABF≌△CDE(SAS).
∴∠B=∠D,
∴AB//CD.当选择③AF=CF时,不能判定△ABF≌△CDE.

如图(1),点A,C,F,D在同一直线上,AF= DC,AB= DE,BC= EF.
(1)试说明AB//ED,BC//EF的理由;
(2)把图中的△DEF沿直线AD平移到四个不同位置,如图(2)(3)(4)(5),仍有上面的结论吗?说明理由.

答案： 1. （1）
解：
因为$AF = DC$，所以$AF - CF=DC - CF$，即$AC = DF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\begin{cases}AB = DE\\BC = EF\\AC = DF\end{cases}$。
根据“边 - 边 - 边”（$SSS$）全等判定定理，$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
所以$\angle A=\angle D$，$\angle ACB=\angle DFE$。
因为$\angle A=\angle D$，根据“内错角相等，两直线平行”，所以$AB// ED$。
因为$\angle ACB+\angle BCF = 180^{\circ}$，$\angle DFE+\angle EFC = 180^{\circ}$，且$\angle ACB=\angle DFE$，所以$\angle BCF=\angle EFC$，根据“内错角相等，两直线平行”，所以$BC// EF$。
2. （2）
解：
仍有$AB// ED$，$BC// EF$的结论。
理由：在平移过程中，$AB = DE$，$BC = EF$，$AC = DF$（$AF = DC$，$AF\pm CF=DC\pm CF$）的关系始终不变。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\begin{cases}AB = DE\\BC = EF\\AC = DF\end{cases}$，根据$SSS$，$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
所以$\angle A=\angle D$，$\angle ACB=\angle DFE$。
由$\angle A=\angle D$，得$AB// ED$；由$\angle BCF=\angle EFC$（$\angle ACB=\angle DFE$，等角的补角相等），得$BC// EF$。
综上，（1）通过证明$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，利用全等三角形的性质和平行线判定定理得出$AB// ED$，$BC// EF$；（2）在平移过程中，三角形全等关系不变，所以仍有$AB// ED$，$BC// EF$的结论。