《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图,$BD⊥AC$,$CE⊥AB$,垂足分别为点$D和点E$,$BD与CE相交于点F$,$BF = CF$.求证:点$F在∠BAC$的平分线上.

答案： 提示:连接AF,证∠CAF=∠BAF.

2. 如图,$BE = CF$,$DE⊥AB于E$,$DF⊥AC于F$,且$BD = CD$.求证:
(1)$△BDE≌△CDF$;
(2)$AD是∠BAC$的平分线.

答案：
(1)
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中,{BE=CF,BD=CD,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).
(2)由
(1)知△BDE≌△CDF,
∴DE=DF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD是∠BAC的平分线.

3. 如图,$∠A = ∠B$,$AE = BE$,点$D在AC$边上,$∠CED = ∠AEB$,$AE交BD于点F$.求证:
(1)$△AEC≌△BED$;
(2)$DE平分∠BDC$.

答案：
(1)
∵∠CED=∠AEB,
∴∠CED+∠AED=∠AEB+∠AED,
∴∠AEC=∠BED,在△AEC和△BED中,{∠A=∠B,AE=BE,∠AEC=∠BED,
∴△AEC≌△BED(ASA).
(2)
∵△AEC≌△BED,
∴∠C=∠EDB,CE=DE,
∴∠C=∠EDC,
∴∠EDB=∠EDC,
∴DE平分∠BDC.

如图(1),$A$,$E$,$F$,$C$在一条直线上,$AE = CF$,过$E$,$F分别作DE⊥AC$,$BF⊥AC$,若$AB = CD$,可以得到$BD平分EF$,为什么?若将$△DEC的边EC沿AC$方向移动,变为图(2)时,其余条件不变,上述结论是否成立?请说明理由.

答案： 在题图
(1)中,BD平分EF.理由如下:
∵DE⊥AC,BF⊥AC,
∴∠DEG=∠BFE=90°.
∵AE=CF,AE+EF=CF+EF.
∴AF=CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中,{AF=CE,AB=CD,
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),
∴BF=DE.在△BFG和△DEG中,{∠BGF=∠DGE,∠BFG=∠DEG,BF=DE,
∴△BFG≌△DEG(AAS).
∴FG=EG,即BD平分EF.在题图
(2)中,结论依然成立.理由如下:由
(1)得,Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),
∴BF=DE.在△BFG和△DEG中,{∠BGF=∠DGE,∠BFG=∠DEG,BF=DE,
∴△BFG≌△DEG(AAS),
∴FG=EG,即BD平分EF.