《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第65～67页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题：
1. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
2. 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
3. 若两个命题的题设、结论正好相反,我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题,那么另一个叫作它的逆命题.
4. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫作互逆定理,其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.

答案： 1. 距离
2. 相等
3. 互逆
4. 互逆定理，逆定理

3. 写出下列命题的逆命题,并判断这些逆命题是否成立.
(1) 两直线平行,同位角相等；
(2) 如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等；
(3) 全等三角形的对应角相等.

答案：
(1)逆命题：同位角相等，两直线平行。
判断：成立。
(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等。
判断：不成立（例如，$3$和$-3$的绝对值相等，但$3$不等于$-3$，它们是互为相反数）。
(3)逆命题：对应角相等的三角形是全等三角形。
判断：不成立（例如，两个相似的三角形对应角相等，但它们不一定全等）。

例1 如图,$AD \perp BC$,$BD = DC$,点$C在AE$的垂直平分线上.$AB$,$AC$,$CE$的长度有什么关系？$AB + BD与DE$有什么关系？

答案： 解：
1. 因为 $C$ 在 $AE$ 的垂直平分线上，
$CA = CE$，
因为 $AD \perp BC$，
$BD = DC$，
所以 $AB = AC$，
因此 $AB = AC = CE$。
2. $AB + BD = DE$，
因为 $AB = AC = CE$，
$BD = DC$，
所以 $AB + BD = AC + DC = CE + DC = DE$。
故 $AB = AC = CE$，$AB + BD = DE$。

例2 如图,$AB = AC$,$MB = MC$,直线$AM是线段BC$的垂直平分线吗？为什么？

答案： 是。
证明：
∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
∵MB=MC，
∴点M在线段BC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
∵两点确定一条直线，
∴直线AM是线段BC的垂直平分线。