《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第 $104 \sim 106$ 页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
一般地,单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 即 $p(a + b + c) = $ $pa + pb + pc$.

答案： $pa + pb + pc$

3. 下面的计算是否正确？如果不正确,应当怎样改正？
(1) $(-2x)(x^{2}-x)= -2x^{3}-2x^{2}$;
(2) $a(b - c)+b(c - a)+c(a - b)= 0$.

答案：
(1)原计算：$(-2x)(x^{2}-x)= -2x^{3}-2x^{2}$ 不正确。
正确计算：
$(-2x)(x^{2}-x)$
$ = (-2x) \cdot x^{2} + (-2x) \cdot (-x)$
$ = -2x^{3} + 2x^{2}$
所以，$(-2x)(x^{2}-x)$ 的正确结果是 $-2x^{3} + 2x^{2}$。
(2)原计算：$a(b - c)+b(c - a)+c(a - b)= 0$ 正确（根据题目要求判断计算是否正确，此小题计算正确，但按照要求仍给出完整计算步骤）。
完整计算：
$a(b - c)+b(c - a)+c(a - b)$
$ = ab - ac + bc - ab + ac - bc$
$ = 0$
所以，$a(b - c)+b(c - a)+c(a - b)$ 的计算结果是 $0$，原计算正确。

例 计算:
(1) $(-4x^{2})\cdot(3x + 1)$;
(2) $\left(\dfrac{2}{3}ab^{2}-2ab\right)\cdot\dfrac{1}{2}ab$.
(3) $(x - 3y)(xy^{2})^{2}$;
(4) $x(y - z)-y(z - x)+z(x - y)$.

答案：
(1)
$\begin{aligned}(-4x^{2})\cdot(3x + 1)&=(-4x^{2})×3x+(-4x^{2})×1\\&=-12x^{3}-4x^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\left(\dfrac{2}{3}ab^{2}-2ab\right)\cdot\dfrac{1}{2}ab&=\dfrac{2}{3}ab^{2}×\dfrac{1}{2}ab-2ab×\dfrac{1}{2}ab\\&=\dfrac{1}{3}a^{2}b^{3}-a^{2}b^{2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}(x - 3y)(xy^{2})^{2}&=(x - 3y)\cdot x^{2}y^{4}\\&=x\cdot x^{2}y^{4}-3y\cdot x^{2}y^{4}\\&=x^{3}y^{4}-3x^{2}y^{5}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}x(y - z)-y(z - x)+z(x - y)&=xy - xz - yz+xy + xz - yz\\&=(xy+xy)+(-xz + xz)+(-yz - yz)\\&=2xy-2yz\end{aligned}$

1. 计算:
(1) $3a(5a - 2b)$;
(2) $-2xy(2xy^{2}-3xy)$;
(3) $(x - 3y)(-6x)$;
(4) $(-2ab)^{2}(2a - b + 1)$.

答案：
(1)$15a^{2}-6ab$；
(2)$-4x^{2}y^{3}+6x^{2}y^{2}$；
(3)$-6x^{2}+18xy$；
(4)$8a^{3}b^{2}-4a^{2}b^{3}+4a^{2}b^{2}$