《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

1. 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
(1)3,4,8；(2)5,6,11；(3)5,6,10.

答案： 解：根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
(1) $3 + 4 = 7\lt 8$，不满足三角形三边关系，所以不能组成三角形。
(2) $5 + 6 = 11$，不满足三角形三边关系，所以不能组成三角形。
(3) $5 + 6 = 11\gt 10$，$6 + 10 = 16\gt 5$，$5 + 10 = 15\gt 6$；
$10 - 5 = 5\lt 6$，$10 - 6 = 4\lt 5$，$6 - 5 = 1\lt 10$，满足三角形三边关系，所以能组成三角形。
综上，
(1)不能组成三角形，因为$3 + 4\lt 8$；
(2)不能组成三角形，因为$5 + 6 = 11$；
(3)能组成三角形，因为满足三角形三边关系。

2. 长为 100 cm,70 cm,50 cm,30 cm 的四根木条,选其中三根组成三角形,有几种选法？为什么？

答案： 2种,因为要满足三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.

3. (1) 已知等腰三角形的一边长等于 5,一边长等于 6,求它的周长.
(2) 已知等腰三角形的一边长等于 4,一边长等于 9,求它的周长.
(3) 在等腰 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,若 $ \triangle ABC $ 的周长为 20 cm,求边 $ AB $ 的取值范围.

答案： $(1)$ 求等腰三角形的周长（一边长$5$，一边长$6$）
解：
- 当腰长为$5$时，三边长分别为$5$，$5$，$6$。
因为$5 + 5\gt 6$，$5+6\gt 5$（三角形三边关系：任意两边之和大于第三边），所以能组成三角形。
此时周长为$5 + 5+6=16$。
- 当腰长为$6$时，三边长分别为$6$，$6$，$5$。
因为$6 + 6\gt 5$，$6 + 5\gt 6$，所以能组成三角形。
此时周长为$6 + 6 + 5=17$。
$(2)$ 求等腰三角形的周长（一边长$4$，一边长$9$）
解：
- 当腰长为$4$时，三边长分别为$4$，$4$，$9$。
因为$4 + 4=8\lt 9$（不满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边），所以不能组成三角形。
- 当腰长为$9$时，三边长分别为$9$，$9$，$4$。
因为$9 + 9\gt 4$，$9 + 4\gt 9$，所以能组成三角形。
此时周长为$9 + 9+4 = 22$。
$(3)$ 求边$AB$的取值范围（等腰$\triangle ABC$，$AB = AC$，周长$20cm$）
解：设$AB = AC=x cm$，则$BC=(20 - 2x)cm$。
根据三角形三边关系：
$\begin{cases}AB+AC\gt BC\\AB + BC\gt AC\end{cases}$（因为$AB = AC$，$AB + BC\gt AC$恒成立，主要考虑$AB+AC\gt BC$）
即$x + x\gt 20 - 2x$，且$20-2x\gt0$（边长大于$0$）。
解$x + x\gt 20 - 2x$：
$2x+2x\gt20$，
$4x\gt20$，
$x\gt5$。
解$20 - 2x\gt0$：
$-2x\gt - 20$，
$x\lt10$。
所以$5\lt AB\lt10$。
综上，$(1)$ 周长为$16$或$17$；$(2)$ 周长为$22$；$(3)$ $5\lt AB\lt10$。

1. (1) 若等腰三角形的两边长分别为 3 和 7,则它的周长为17.
(2) 若等腰三角形的两边长分别是 3 和 4,则它的周长为10或11.
(3) 若三角形的两边长分别是 2 和 5,则第三边长 $ m $ 的取值范围是$3＜m＜7$.
(4) 等腰三角形的一边长为 6 cm,周长为 20 cm,则其他两边的长为$7\ cm,7\ cm$或$6\ cm,8\ cm$.

答案：
(1)17
(2)10或11
(3)$3＜m＜7$
(4)$7\ cm,7\ cm$或$6\ cm,8\ cm$

2. 如图,由三角形两边的和大于第三边,得 $ AB + AD ＞ $$BD$,$ PD + CD ＞ $$PC$.
将不等式左边、右边分别相加,得 $ AB + AD + PD + CD ＞ $$BD+PC$,即 $ AB + AC ＞ $$PC+BP$.

答案： $BD$;$PC$;$BD+PC$;$PC+BP$

3. 三角形的三边长都是整数,周长为 11,且有一条边长为 4. 这个三角形的最大边长可能是多少？请说明理由.

答案： 设三角形的另外两条边长分别为$a$和$b$（$a$、$b$为整数，且$a \leq b$）。
已知三角形周长为11，一条边长为4，分两种情况讨论：
情况1：若4为最小边，则$a = 4$，则$b = 11 - 4 - 4 = 3$。此时三边长为3，4，4。因为$3 + 4 ＞ 4$，满足三角形三边关系，但$b = 4$不是最大边。
情况2：若4不是最小边，则$a ＜ 4$，$b$为最大边。则$a + 4 + b = 11$，即$a + b = 7$，所以$b = 7 - a$。
根据三角形三边关系：$b - a ＜ 4$，即$(7 - a) - a ＜ 4$，解得$a ＞ \frac{3}{2}$。因为$a$为整数且$a ＜ 4$，所以$a = 2$或$3$。
当$a = 2$时，$b = 5$，三边长为2，4，5。$2 + 4 ＞ 5$，满足三边关系。
当$a = 3$时，$b = 4$，三边长为3，4，4。此时最大边为4，小于5。
综上，最大边长可能是5。
5

4. 已知 $ a $,$ b $,$ c $ 是 $ \triangle ABC $ 的三边长,且 $ a = 4 $,$ b = 6 $,设 $ \triangle ABC $ 的周长是 $ x $.
(1) 求 $ c $ 与 $ x $ 的取值范围；
(2) 若 $ x $ 是小于 18 的偶数,试判断 $ \triangle ABC $ 形状.

答案：
(1)$2＜c＜10$,$12＜x＜20$
(2)$\triangle ABC$是等腰三角形.

如图,已知 $ P $ 为 $ \triangle ABC $ 内一点. 求证：$ PA + PB + PC ＞ \frac{1}{2}(AB + BC + AC) $.

答案： 提示:$PA+PB＞AB$,$PB+PC＞BC$,$PC+PA＞AC$.三式相加即可.