《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

例 2 如图,已知 $ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ AC = BC $,$ AD \perp CM $,$ BE \perp CM $,垂足分别为 $ D $,$ E $。求证：$ CD = BE $。

答案： 证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°。
∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BCE。
在△ACD和△CBE中，
∠ADC=∠CEB，
∠CAD=∠BCE，
AC=CB，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD=BE。

例 3 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 是它的角平分线,$ P $ 是 $ AD $ 上的一点。$ PE // AB $,交 $ BC $ 于点 $ E $；$ PF // AC $,交 $ BC $ 于点 $ F $。求证：点 $ D $ 到 $ PE $ 和 $ PF $ 的距离相等。

答案： 证明：
∵$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，
∴$\angle BAD = \angle CAD$。
∵$PE// AB$，
∴$\angle EPD=\angle BAD$（两直线平行，同位角相等）。
∵$PF// AC$，
∴$\angle FPD = \angle CAD$（两直线平行，同位角相等）。
∴$\angle EPD=\angle FPD$，即$PD$平分$\angle EPF$。
∵点$D$在$PD$上，
∴点$D$到$PE$和$PF$的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等）。

例 4 如图,$ DB \perp AB $,$ DC \perp AC $,$ \angle 1 = \angle 2 $。求证：$ AD \perp BC $。

答案： 证明：
1.
∵DB⊥AB，DC⊥AC，
∴∠ABD=∠ACD=90°。
2. 在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠1=∠2 \\ ∠ABD=∠ACD \\ AD=AD \end{array}\right.$

∴△ABD≌△ACD（AAS）。
3.
∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形。
4.
∵∠1=∠2，
∴AD平分∠BAC。
5.
∵△ABC是等腰三角形，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC（等腰三角形顶角平分线与底边高线重合）。
结论：AD⊥BC。

例 5 已知 $ \angle MON $,用三角尺按下面的方法画图：
(1)在 $ \angle MON $ 的两边 $ OM $,$ ON $ 上,分别取 $ OA = OB $；
(2)分别过点 $ A $,$ B $ 作 $ OM $,$ ON $ 的垂线,两条垂线相交于点 $ C $；
(3)画射线 $ OC $。
射线 $ OC $ 平分 $ \angle MON $ 吗？为什么？

答案： 射线OC平分∠MON。
理由：
∵过点A作OM的垂线，过点B作ON的垂线，
∴∠OAC=∠OBC=90°（垂直的定义），即△OAC和△OBC均为直角三角形。
在Rt△OAC和Rt△OBC中，
∵OA=OB（已知），OC=OC（公共边），
∴Rt△OAC≌Rt△OBC（HL）。
∴∠AOC=∠BOC（全等三角形的对应角相等）。
∴射线OC平分∠MON（角平分线的定义）。

例 6 如图,在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEF $ 中,$ B $,$ E $,$ C $,$ F $ 在同一条直线上。下面给出四个论断：
① $ AB = DE $；② $ AC = DF $；③ $ \angle ABC = \angle DEF $；④ $ BE = CF $。
任选三个作为已知条件,余下一个作为结论,可得几个命题？其中真命题有几个？分别给出证明。

答案： 命题1：条件①②③，结论④（假命题）
命题2：条件①②④，结论③（真命题）
证明：
∵BE=CF，B、E、C、F共线，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF。在△ABC和△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}AB=DE\\AC=DF\\BC=EF\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ABC=∠DEF。
命题3：条件①③④，结论②（真命题）
证明：
∵BE=CF，B、E、C、F共线，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF。在△ABC和△DEF中，$\left\{\begin{array}{l}AB=DE\\∠ABC=∠DEF\\BC=EF\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC=DF。
命题4：条件②③④，结论①（假命题）
共有4个命题，真命题2个。

1. 已知图中的两个三角形全等,则 $ \angle \alpha $ 的度数是(D)

A.$ 72^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 58^{\circ} $
D.$ 50^{\circ} $

答案： D

2. 如图,在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEF $ 中,点 $ A $,$ E $,$ B $,$ D $ 在同一直线上,$ AC // DF $,$ AC = DF $,只添加一个条件,能判定 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $ 的是(B)

A.$ BC = DE $
B.$ AE = DB $
C.$ \angle A = \angle DEF $
D.$ \angle ABC = \angle D $

答案： B