《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

2. 如图,$AB = AC$,$AD = AE$. 求证：$\angle B = \angle C$.

答案： 提示:∠A 是公共角,证△ABE≌△ACD.

3. 如图,点$A$,$D$,$B$,$E$在一条直线上,$AD = BE$,$AC = DF$,$AC // DF$. 求证：$BC = EF$.

答案： 提示:由AD=BE,得AB=DE.

1. 如图,点$E$,$F在BC$上,$BE = CF$,$AB = DC$,$\angle B = \angle C$. 求证：$\angle A = \angle D$.

答案： 提示:BE+EF=CF+EF.

2. 如图,$AB // CD$,$AB = CD$,$AF = CE$. 求证：$BE = DF$.

答案： 证明：
∵AB//CD，
∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF。
在△ABE和△CDF中，
AB=CD，
∠A=∠C，
AE=CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）。
∴BE=DF。

3. 如图,点$E在AB$上,$\angle A = \angle B$,$AD = BE$,$AE = BC$.
(1) 求证：$CE = DE$.
(2) 如果$\angle CEA = 80^{\circ}$,$\angle B = 60^{\circ}$,求$\angle ECD$的度数.

答案： 1. （1）证明：
在△AED和△BCE中,
$\left\{\begin{array}{l} AD=BE,\\ ∠A=∠B,\\ AE=BC,\end{array}\right. $
$\therefore △AED≌△BCE(SAS),\therefore DE=EC$.
2. （2）
因为$\triangle ADE\cong\triangle BEC$，所以$\angle AED=\angle BCE$。
在$\triangle BEC$中，已知$\angle B = 60^{\circ}$，$\angle CEA = 80^{\circ}$，根据三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和），$\angle CEA=\angle B+\angle BCE$。
则$\angle BCE=\angle AED=\angle CEA - \angle B=80^{\circ}-60^{\circ}=20^{\circ}$。
又因为$CE = DE$，所以$\triangle CDE$是等腰三角形。
根据$\angle CED = 180^{\circ}-\angle CEA=180 - 80^{\circ}=100^{\circ}$。
再根据等腰三角形内角和公式$\angle ECD=\angle EDC$，且$\angle ECD+\angle EDC+\angle CED = 180^{\circ}$（三角形内角和为$180^{\circ}$，即$2\angle ECD+\angle CED = 180^{\circ}$）。
把$\angle CED = 100^{\circ}$代入$2\angle ECD+\angle CED = 180^{\circ}$，得$2\angle ECD+100^{\circ}=180^{\circ}$。
移项可得$2\angle ECD=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$，解得$\angle ECD = 40^{\circ}$。
综上，（1）已证$CE = DE$；（2）$\angle ECD$的度数为$40^{\circ}$。

如图,$\angle ACB = \angle DCE$,$AC = BC$,$CD = CE$,$AD交BC于点F$,连接$BE$.
(1) 求证：$\triangle ACD \cong \triangle BCE$.
(2) 延长$AD交BE于点H$,若$\angle ACB = 30^{\circ}$,求$\angle BHF$的度数.

答案：
(1)提示:$∠ACB+∠DCB=∠DCE+∠DCB$.
(2)$\because △ACD≌△BCE,\therefore ∠A=∠B.\because ∠BFH=∠AFC,$$\therefore ∠BHF=∠ACB.\because ∠ACB=30^{\circ },\therefore ∠BHF=30^{\circ }.$