《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

15. 如图,在 △ABC 中,AD 是高,AE,BF 是角平分线,它们相交于点 O,∠BAC = 50°,∠C = 70°. 求 ∠DAC 和 ∠BOA 的度数.

答案： ∠DAC=20°,∠BOA=125°

16. 如图,∠1 = ∠2,∠3 = ∠4,∠A = 100°,求 x 的值.

答案： 140

17. 如图,∠ACB = 90°,CD 是 △ABC 的高,DE 是 △BDC 的高,∠A = 3∠CDE. 求 ∠B 的度数.

答案： 22.5

18. 如图,AD 是 △ABC 的角平分线,M 是射线 AD 上一点,MN ⊥ BC 于点 N,∠B = α,∠C = β,且 α ＞ β.
(1)如图(1),当点 M 与 A 点重合,α = 50°,β = 30°时,求 ∠DMN 的度数.
(2)如图(2),当点 M 在线段 AD 上(不与 A,D 两点重合)时,求证：∠DMN = $\frac{1}{2}$(α - β).

答案： $(1)$ 求$\angle DMN$的度数
解：已知$\angle B = 50^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C=180^{\circ}-50^{\circ}-30^{\circ} = 100^{\circ}$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}×100^{\circ} = 50^{\circ}$。
又因为$MN\perp BC$（此时$M$与$A$重合），在$\triangle ABD$中，$\angle ADB = 180^{\circ}-\angle B-\angle BAD=180^{\circ}-50^{\circ}-50^{\circ}=80^{\circ}$。
在$Rt\triangle MND$（此时$M$与$A$重合）中，$\angle DMN = 90^{\circ}-\angle ADB=90^{\circ}-80^{\circ}=10^{\circ}$。
$(2)$ 证明$\angle DMN=\frac{1}{2}(\alpha - \beta)$
证明：在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle C=180^{\circ}-\alpha - \beta$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha - \beta)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha-\frac{1}{2}\beta$。
在$\triangle ABD$中，根据三角形外角性质，$\angle ADC=\angle B+\angle BAD$（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和），则$\angle ADC=\alpha+(90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha-\frac{1}{2}\beta)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha-\frac{1}{2}\beta$。
因为$MN\perp BC$，在$Rt\triangle MND$中，$\angle DMN = 90^{\circ}-\angle ADC$。
将$\angle ADC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha-\frac{1}{2}\beta$代入可得：
$\angle DMN=90^{\circ}-(90^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha-\frac{1}{2}\beta)=90^{\circ}-90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{2}\beta=\frac{1}{2}(\beta - \alpha)$，即$\angle DMN=\frac{1}{2}(\alpha - \beta)$（因为$\alpha\gt\beta$ ）。
综上，$(1)$$\boldsymbol{10^{\circ}}$；$(2)$证明过程如上述。

变式：等腰 △ABC 中,∠A = 80°,求 ∠B 的度数.
(1)请你解答以上的变式题.
(2)解(1)后,小敏发现,∠A 的度数不同,得到 ∠B 的度数的个数也可能不同. 如果在等腰 △ABC 中,设 ∠A = x°,当 ∠B 有三个不同的度数时,请你探索 x 的取值范围.

答案：
(1)若∠A为顶角,则∠B=(180°-∠A)÷2=50°;若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=180°-2×80°=20°;若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=80°.故∠B=50°或20°或80°.
(2)①当90≤x＜180时,∠A只能为顶角,
∴∠B的度数只有一个.②当0＜x＜90时,若∠A为顶角,则∠B=((180-x)/2)°.若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=(180-2x)°;若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=x°.当(180-x)/2≠180-2x且180-2x≠x且(180-x)/2≠x,即x≠60时,∠B有三个不同的度数.综上所述,可知当0＜x＜90且x≠60时,∠B有三个不同的度数.