《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第112～113页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
(1)完成教科书第112页探究中的填空,思考三个算式有什么共同的特点？计算结果有什么规律？
(2)平方差公式：
$(a + b)(a - b) = $$a^2 - b^2$,
即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.

答案：
(2) $a^2 - b^2$；这两个数的平方差。

1. 通过对教科书第112页思考的探究,你是怎样利用此图验证平方差公式的？请与同伴交流.

答案： 设大正方形边长为$a$，小正方形边长为$b$，且$a＞b$。
整体看，大正方形面积$S_1 = a^2$，小正方形面积$S_2 = b^2$，那么图形中阴影部分面积$S = a^2 - b^2$。
从图形分割角度看，阴影部分是两个形状相同但摆放方向不同的梯形组成的，其面积$S=\frac{1}{2}(2a + 2b)(a - b)= (a + b)(a - b)$。
由于两种方法计算的是同一阴影部分面积，所以$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$。

3. 下面各式的计算是否正确？如果不正确,应当怎样改正？
(1)$(x + 2)(x - 2) = x^{2} - 2$；
(2)$(-a - 2)(a - 2) = a^{2} - 4$；
(3)$(x + 2y)(-x - 2y) = x^{2} - 4y^{2}$；
(4)$(3a + 4b)(3a - 4b) = 9a^{2} - 4b^{2}$.

答案：
(1)不正确；
$(x + 2)(x - 2)=x^{2} - 2^{2}=x^{2}-4$；
(2)不正确；
$(-a - 2)(a - 2)=(-2 - a)(-2 + a)=(-2)^{2}-a^{2}=4 - a^{2}$；
(3)不正确；
$(x + 2y)(-x - 2y)=-(x + 2y)(x + 2y)=-(x + 2y)^{2}=-x^{2}-4xy - 4y^{2}$；
(4)不正确；
$(3a + 4b)(3a - 4b)=(3a)^{2}-(4b)^{2}=9a^{2}-16b^{2}$。

例1 运用平方差公式计算：
(1)$(3x + 2)(3x - 2)$；
(2)$(-x + 2y)(-x - 2y)$.

答案：
(1)
解：
根据平方差公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，
将 $3x$ 看作 $a$，$2$ 看作 $b$，代入公式得：
$(3x + 2)(3x - 2) = (3x)^{2} - 2^{2} = 9x^{2} - 4$。
(2)
解：
同样根据平方差公式，
将 $-x$ 看作 $a$，$2y$ 看作 $b$，代入公式得：
$(-x + 2y)(-x - 2y) = (-x)^{2} - (2y)^{2} = x^{2} - 4y^{2}$。

例2 计算：
(1)$(x - 1)(x + 1)(x^{2} + 1)$；
(2)$(y + 2)(y - 2) - (y - 1)(y + 5)$；
(3)$102 × 98$.

答案：
(1)
$\begin{aligned}&(x - 1)(x + 1)(x^{2} + 1)\\=&(x^{2}-1)(x^{2}+1)\\=&x^{4}-1\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(y + 2)(y - 2)-(y - 1)(y + 5)\\=&y^{2}-4-(y^{2}+5y-y - 5)\\=&y^{2}-4-(y^{2}+4y - 5)\\=&y^{2}-4 - y^{2}-4y + 5\\=&1 - 4y\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&102×98\\=&(100 + 2)(100 - 2)\\=&100^{2}-2^{2}\\=&10000 - 4\\=&9996\end{aligned}$

1. 运用平方差公式计算：
(1)$(a + 3b)(a - 3b)$；
(2)$(3 + 2a)(-3 + 2a)$；
(3)$(3x + 4)(3x - 4) - (2x + 3)(3x - 2)$.

答案： 1.
(1)$a^{2}-9b^{2}$
(2)$4a^{2}-9$
(3)$3x^{2}-5x-10$