《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第78~79页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
(1) 有两边相等的三角形是等腰三角形.
(2) 等腰三角形的性质:
性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”).
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).
(3) 等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角的平分线,底边上的高)所在直线就是它的对称轴.

答案：
(1)相等；
(2)底角，等角；重合，合一；
(3)轴对称，平分线，高

1. 等腰三角形是轴对称图形,我们如何利用它的轴对称性研究等腰三角形的性质?
2. 如图,在下列等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.

3. 如图,$\triangle ABC$是等腰直角三角形($AB= AC,\angle BAC= 90^{\circ}$),$AD是底边BC$上的高,标出$\angle B,\angle C,\angle BAD,\angle DAC$的度数,并写出图中所有相等的线段.

答案： 1. 作等腰三角形顶角的平分线（或底边上的中线、底边上的高）所在的直线，即为对称轴，沿对称轴折叠，等腰三角形的两部分重合，由此可得出等腰三角形的性质：两底角相等，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
2.
(1) 底角为$(180^{\circ}-36^{\circ})÷2 = 72^{\circ}$
(2) 底角为$(180^{\circ}-120^{\circ})÷2 = 30^{\circ}$
3. $\angle B = 45^{\circ}$，$\angle C = 45^{\circ}$，$\angle BAD = 45^{\circ}$，$\angle DAC = 45^{\circ}$；相等线段：$AB = AC$，$BD = DC = AD$

例 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点$D在AC$上,且$BD= BC= AD$.求$\triangle ABC$各角的度数.

答案： 设$\angle A = x$，
因为$AD = BD$，
所以$\angle ABD = \angle A = x$，
则$\angle BDC = \angle A + \angle ABD = 2x$。
因为$BD = BC$，
所以$\angle C = \angle BDC = 2x$。
又因为$AB = AC$，
所以$\angle ABC = \angle C = 2x$。
在$\triangle ABC$中，$\angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ}$，
即$x + 2x + 2x = 180^{\circ}$，
解得$x = 36^{\circ}$。
所以$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle ABC = \angle C = 72^{\circ}$。
综上，$\angle A = 36^{\circ}$，$\angle B = 72^{\circ}$，$\angle C = 72^{\circ}$。

1. (1) 等腰三角形的一个角是$110^{\circ}$,它的另外两个角是多少度?
(2) 等腰三角形的一个角是$80^{\circ}$,它的另外两个角是多少度?

答案： $(1)$ 求等腰三角形一个角是$110^{\circ}$时另外两个角的度数
解：
因为三角形内角和为$180^{\circ}$，等腰三角形两底角相等，且$110^{\circ}\gt90^{\circ}$，所以$110^{\circ}$只能是顶角。
设底角为$x$，根据三角形内角和公式$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$（这里$\angle A$为顶角，$\angle B=\angle C$为底角），可得$110 + 2x=180$。
移项可得$2x=180 - 110$，即$2x = 70$，解得$x = 35^{\circ}$。
所以另外两个角都是$35^{\circ}$。
$(2)$ 求等腰三角形一个角是$80^{\circ}$时另外两个角的度数
解：
情况一：当$80^{\circ}$角为顶角时
设底角为$y$，根据三角形内角和公式$\angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$（$\angle A$为顶角，$\angle B = \angle C$为底角），则$80+2y = 180$。
移项得$2y=180 - 80$，即$2y = 100$，解得$y = 50^{\circ}$，此时另外两个角都是$50^{\circ}$。
情况二：当$80^{\circ}$角为底角时
因为等腰三角形两底角相等，所以另一个底角也是$80^{\circ}$。
根据三角形内角和公式，顶角$z=180-80 - 80=20^{\circ}$，此时另外两个角分别是$80^{\circ}$和$20^{\circ}$。
综上，$(1)$另外两个角都是$35^{\circ}$；$(2)$另外两个角是$50^{\circ},50^{\circ}$或$80^{\circ},20^{\circ}$。