《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

2. (1) 将 $ [(a + b)^{2}]^{4} $ 表示成以 $ a + b $ 为底的幂;
(2) 将 $ [(2x + y)^{3}]^{2} $ 表示成以 $ 2x + y $ 为底的幂.

答案：
(1)$(a+b)^{8}$
(2)$(2x+y)^{6}$

3. (1) 若 $ (x^{2})^{m} = x^{8} $,求 $ m $ 的值;
(2) 已知 $ 2^{m} = a,32^{n} = b $,求 $ 2^{3m + 10n} $.

答案： $(1)$ 求$m$的值
解：
根据幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$，对于$(x^{2})^{m}$，可得$(x^{2})^{m}=x^{2m}$。
已知$(x^{2})^{m}=x^{8}$，则$x^{2m}=x^{8}$。
根据指数相等则底数相等（这里底数都是$x$），可得$2m = 8$，解得$m=\frac{8}{2}=4$。
$(2)$ 求$2^{3m + 10n}$的值
解：
步骤一：对$2^{3m + 10n}$进行变形
根据同底数幂相乘公式$a^m× a^n=a^{m + n}$，可得$2^{3m + 10n}=2^{3m}×2^{10n}$。
再根据幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$，进一步变形为$2^{3m + 10n}=(2^{m})^{3}×(2^{5n})^{2}$。
步骤二：将$32^{n}$进行变形
因为$32 = 2^5$，所以$32^{n}=(2^5)^{n}$，根据幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$(2^5)^{n}=2^{5n}$，已知$32^{n}=b$，即$2^{5n}=b$。
步骤三：代入求值
已知$2^{m}=a$，$2^{5n}=b$，将其代入$(2^{m})^{3}×(2^{5n})^{2}$可得：
$2^{3m + 10n}=(2^{m})^{3}×(2^{5n})^{2}=a^{3}b^{2}$。
综上，$(1)$$m = 4$；$(2)$$2^{3m + 10n}=a^{3}b^{2}$。

1. 计算：
(1) $ (10^{4})^{4} $; (2) $ - (a^{2})^{5} $;
(3) $ (x^{3})^{4} \cdot x^{2} $;
(4) $ [(-x)^{2}]^{3} $;
(5) $ y^{5} \cdot (y^{5})^{2} - 2 \cdot (y^{5})^{3} $;
(6) $ (x^{2})^{2} + x \cdot (-x)^{3} $.

答案：
(1)$10^{16}$
(2)$-a^{10}$
(3)$x^{14}$
(4)$x^{6}$
(5)$-y^{15}$
(6)0

2. 如果一个正方体的棱长是 $ 10^{2} cm $,那么它的体积是多少？

答案： $10^{6}\ cm^{3}$

3. 已知 $ x + 2y - 6 = 0 $ ($ x,y $ 是正整数),求 $ 2^{x} \cdot 4^{y} $ 的值.

答案： 64

若 $ 2^{x} = 4^{y + 1},27^{y} = 3^{x - 1} $,试求 $ (2y)^{x} $ 的值.

答案： 16