《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

1. 阅读教科书第 123 页的内容,思考本章要学习什么内容? 如何运用对比方法进行观察和思考?
2. 自学教科书第 $124\sim125$ 页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
(1) 把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解,也叫作把这个多项式分解因式.
(2) 因式分解与整式乘法是方向相反的变形,即 $pa + pb + pc\underset{整式乘法}{\overset{因式分解}{\rightleftharpoons}}p(a + b + c)$.
(3) 多项式 $pa + pb + pc$,它的各项都有一个公因式 $p$,我们把因式 $p$ 叫作这个多项式各项的公因式.
(4) 如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法.

答案： 1. 本章学习因式分解及提公因式法等，通过对比整式乘法与因式分解的互逆关系思考。2.
(1)乘积；
(2)相反

例 1 分解因式:
(1) $mx^{2}+my^{2}$; (2) $3x^{2}-4xy^{2}+x$.

答案：
(1) 对于 $mx^{2} + my^{2}$：
观察式子，发现 $m$ 是公共因子。
$mx^{2} + my^{2} = m \cdot x^{2} + m \cdot y^{2} = m(x^{2} + y^{2})$
(2) 对于 $3x^{2} - 4xy^{2} + x$：
观察式子，发现 $x$ 是公共因子。
$3x^{2} - 4xy^{2} + x = x \cdot 3x - x \cdot 4y^{2} + x \cdot 1 = x(3x - 4y^{2} + 1)$

例 2 下列由左边到右边的式子变形,哪些是因式分解? 哪些不是? 为什么?
(1) $4a(a + 2b)= 4a^{2}+8ab$;
(2) $a^{2}-4= (a + 2)(a - 2)$;
(3) $x^{2}-3x + 2= x(x - 3)+2$.

答案：
(1) 不是因式分解。因为因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式，而$4a(a + 2b)= 4a^{2}+8ab$是从整式的积化为多项式，是整式乘法，与因式分解是互逆过程。
(2) 是因式分解。因为$a^{2}-4$是多项式，$(a + 2)(a - 2)$是两个整式的积，将多项式$a^{2}-4$化为了两个整式$(a + 2)$与$(a - 2)$的积的形式。
(3) 不是因式分解。因为$x^{2}-3x + 2= x(x - 3)+2$的右边$x(x - 3)+2$不是几个整式的积的形式，而是一个多项式与一个常数的和的形式。
综上，
(2)是因式分解，
(1)
(3)不是因式分解。