《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

24. 【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究。
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEF $ 中,$ AC = DF $,$ BC = EF $,$ \angle B = \angle E $,然后,对 $ \angle B $ 进行分类,可分为“$ \angle B $ 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究。

【深入探究】
第一种情况：当 $ \angle B $ 是直角时,$ \triangle ABC \cong \triangle DEF $。
(1)如图(1),在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEF $,$ AC = DF $,$ BC = EF $,$ \angle B = \angle E = 90^{\circ} $,根据HL,可以知道 $ Rt \triangle ABC \cong Rt \triangle DEF $。
第二种情况：当 $ \angle B $ 是钝角时,$ \triangle ABC \cong \triangle DEF $。
(2)如图(2),在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEF $,$ AC = DF $,$ BC = EF $,$ \angle B = \angle E $,且 $ \angle B $,$ \angle E $ 都是钝角。求证：$ \triangle ABC \cong \triangle DEF $。
第三种情况：当 $ \angle B $ 是锐角时,$ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEF $ 不一定全等。
(3)在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEF $ 中,$ AC = DF $,$ BC = EF $,$ \angle B = \angle E $,且 $ \angle B $,$ \angle E $ 都是锐角,请你用尺规在图(3)中作出 $ \triangle DEF $,使 $ \triangle DEF $ 和 $ \triangle ABC $ 不全等。(不写作法,保留作图痕迹)
(4)$ \angle B $ 还要满足什么条件,就可以使 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $？请直接写出结论：在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEF $ 中,$ AC = DF $,$ BC = EF $,$ \angle B = \angle E $,且 $ \angle B $,$ \angle E $ 都是锐角。若∠B≥∠A,则 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $。

答案： （1）HL　（2）提示:过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G,过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H.　（3）略（4）∠B≥∠A

如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle B = \angle C $,$ AB = 20 cm $,$ BC = 15 cm $,$ E $ 为 $ AB $ 的中点。点 $ P $ 在线段 $ BC $ 上以 $ 5 cm/s $ 的速度由点 $ B $ 向点 $ C $ 运动,同时,点 $ Q $ 在线段 $ CD $ 上由点 $ C $ 向点 $ D $ 运动。
(1)若点 $ Q $ 运动的速度是 $ 5 cm/s $,经过 $ 1 s $ 后,$ \triangle BPE $ 与 $ \triangle CQP $ 是否全等？请说明理由。
(2)若点 $ Q $ 的运动速度与点 $ P $ 的运动速度不相等,当 $ \triangle BPE $ 与 $ \triangle CQP $ 全等时,求出点 $ Q $ 的运动速度。

答案： （1）△BPE与△CQP全等.理由如下:BP=CQ=5×1=5(cm),
∴PC=BC - BP=15 - 5=10(cm).
∵E为AB的中点,
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=10(cm).在△BPE和△CQP中,$\left\{\begin{array}{l} BE=CP,\\ ∠B=∠C,\\ BP=CQ,\end{array}\right.$
∴△BPE≌△CQP(SAS).　（2）设点P运动的时间为t s,点Q运动的速度是x cm/s,则BP=5t cm,CQ=tx cm.
∵∠B=∠C,
∴当BP=CP,BE=CQ,则根据“SAS”可判断△BPE≌△CPQ,即5t=15 - 5t,10=tx,解得t=$\frac{3}{2}$,x=$\frac{20}{3}$;当BP=CQ,BE=CP,则根据“SAS”可判断△BPE≌△CQP,即5t=tx,10=15 - 5t,解得t=1,x=5(舍去).综上所述,点Q的运动速度为$\frac{20}{3}$cm/s.