《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

17. (6 分)如图,$AD // BC$,$BD$ 平分 $\angle ABC$。求证：$AB = AD$。

答案： 提示:证∠ADB=∠DBC,∠ABD=∠DBC.

18. (6 分)如图,点 $C$ 为线段 $AB$ 上一点,$\triangle ACM$,$\triangle CBN$ 是等边三角形,$AN$ 交 $CM$ 于点 $E$,$BM$ 交 $CN$ 于点 $F$。求证：
(1)$CE = CF$；
(2)$EF // AB$。

答案： 提示:证△BCF≌△NCE.

19. (6 分)如图,已知 $\triangle ABC$,$\angle B = 48°$,请用尺规作图法,在 $\triangle ABC$ 内部求作一点 $P$,使 $PB = PC$,且 $\angle PBC = 24°$。(保留作图痕迹,不写作法)

答案：
如图，点P即为所求

20. (6 分)如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$D$ 为 $CA$ 延长线上一点,$DE \perp BC$ 于点 $E$,交 $AB$ 于点 $F$,$AF = BF$。求证：
(1)$\triangle ADF$ 是等腰三角形；
(2)$DF = 2EF$。

答案：
(1)
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵DE⊥BC,
∴∠B+∠BFE=∠C+∠D=90°,
∴∠D=∠BFE,
∵∠BFE=∠DFA,
∴∠D=∠DFA,
∴AD=AF,
∴△ADF是等腰三角形.　
(2)过A作AH⊥DE于H，
∵DE⊥BC，∠AHF=∠BEF=90°，由
(1)知，AD=AF，DH=FH，在△AFH和△BFE中，∠AHF=∠BEF，∠AFH=∠BFE，AF=BF，
∴△AFH≌△BFE(AAS)，
∴FH=EF，
∴DH=FH=EF，
∴DF=2EF。