《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

21. (6 分)如图,$\triangle ABC$ 和 $\triangle ADE$ 是等边三角形,$AD$ 是 $BC$ 边上的中线。求证：$BE = BD$。

答案： 提示:证明△ABE≌△ABD.

22. (6 分)已知 $\triangle ABC$ 和 $\triangle CDE$ 都为等边三角形,点 $B$,$C$,$D$ 在同一直线上,请仅用无刻度的直尺完成下列作图,不写作法,保留作图痕迹。
(1)如图(1),当 $BC = CD$ 时,作 $\triangle ABC$ 的中线 $BF$；
(2)如图(2),当 $BC \neq CD$ 时,作 $\triangle ABC$ 的中线 $BG$。

答案：

(1)如图
(1)，线段BF即为所求.　　
(2)如图
(2)，线段BG即为所求. 　　

23. (6 分)如图,在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ADE$ 中,$AB = AC$,$AD = AE$,$\angle BAC = \angle DAE = 90°$,且点 $D$ 在线段 $BC$ 上,连 $CE$。
(1)求证：$\triangle ABD \cong \triangle ACE$。
(2)若 $\angle EAC = 60°$,求 $\angle CED$ 的度数。

答案：
(1)
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，{AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE}，
∴△ABD≌△ACE(SAS).　　
(2)
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴∠ACE=∠ABD=∠AED=45°，
∵∠EAC=60°，∠AEC=180°−∠ACE−∠EAC=180°−45°−60°=75°，
∴∠CED=∠AEC−∠AED=75°−45°=30°.

24. (7 分)已知等边 $\triangle ABC$ 和点 $P$,设点 $P$ 到 $\triangle ABC$ 三边 $AB$,$AC$,$BC$ 的距离分别为 $h_1$,$h_2$,$h_3$,$\triangle ABC$ 的高为 $h$。
(1)若点 $P$ 在一边 $BC$ 上 [如图(1)],此时 $h_3 = 0$。求证：$h_1 + h_2 + h_3 = h$。
(2)当点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 内 [(如图(2)],结论是否成立？若成立,请予以证明；若不成立,$h_1$,$h_2$,$h_3$ 与 $h$ 之间又有怎样的关系？请说出你的猜想,并说明理由。

答案：
(1)BC=AB=AC，
∴h=h₁+h₂.　
(2)点P在△ABC内时，h=h₁+h₂+h₃.理由如下:连接AP，BP，CP，则S△ABC =S△BPC+S△ACP+S△ABP，
∴$\frac{1}{2}$BC·AM=$\frac{1}{2}$AB·PD+$\frac{1}{2}$AC·PE+$\frac{1}{2}$BC·PF，即$\frac{1}{2}$BC·h=$\frac{1}{2}$AB·h₁+$\frac{1}{2}$AC·h₂+$\frac{1}{2}$BC·h₃.又ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC，
∴h=h₁+h₂+h₃.