《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

12. 如图,点A为$\angle MON$的平分线上一点,过A任作一直线分别与$\angle MON$的两边交于B,C两点,P为BC中点,过P作BC的垂线交OD于点$D,\angle BDC = 50^{\circ},$则$\angle MON = $130°.

答案： 130°

13. 如图,$AB = AC$,$\angle A = 50^{\circ}$,$DE垂直平分AB$. 求$\angle DBC$的大小.

答案： 15°

14. 如图,已知$MN是线段AB$的垂直平分线,$C$,$D是MN$上的两点. 求证：
(1)$\triangle ABC$,$\triangle ABD$是等腰三角形；
(2)$\angle CAD = \angle CBD$.

答案： 提示:利用线段垂直平分线的性质.

15. (1)如图,已知$\triangle ABC$,$P为边AB$上一点,请用尺规作图的方法在边$AC上求作一点E$,使$AE + EP = AC$.(保留作图痕迹,不写作法)
(2)如果$AC = 6\ cm$,$AP = 3\ cm$,求$\triangle APE$的周长.

答案： 1. （1）作图步骤：
以$A$为圆心，$AP$长为半径画弧，交$AC$于点$E$，点$E$即为所求（作图痕迹：以$A$为圆心，$AP$长为半径的弧）。
2. （2）
解：
由（1）的作图可知$AE = AP$。
因为$\triangle APE$的周长$C = AE + EP+AP$，又$AE + EP=AC$（作图所得），$AC = 6\mathrm{cm}$，$AP = 3\mathrm{cm}$。
所以$C=(AE + EP)+AP$。
把$AE + EP = AC$代入上式得：$C=AC + AP$。
已知$AC = 6\mathrm{cm}$，$AP = 3\mathrm{cm}$，则$C=6 + 3=9(\mathrm{cm})$。
综上，$\triangle APE$的周长为$9\mathrm{cm}$。

16. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,在$AB上取一点E$,在$AC的延长线上取一点F$,使$CF = BE$,连接$EF$,交$BC于点D$. 求证：$DE = DF$.

答案： 提示:过点E作AF的平行线