《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

2. 将 $4x^{2}+1$ 再加上一项,使它成为 $(a + b)^{2}$ 的形式,你有几种方法？

答案： 4x，$-4x$，$4x^{4}$

1. 分解因式：
(1)$1 + 10t + 25t^{2}$；
(2)$m^{2}-14m + 49$；
(3)$x^{2}y^{2}+\frac{1}{2}xy+\frac{1}{16}$；
(4)$25a^{2}-80ab + 64b^{2}$.

答案： 1. （1）
解：
$\begin{aligned}1 + 10t + 25t^{2}&=1^2 + 2×1×5t + (5t)^{2}\\&=(1 + 5t)^{2}\end{aligned}$
2. （2）
解：
$\begin{aligned}m^{2}-14m + 49&=m^2 - 2× m×7 + 7^2\\&=(m - 7)^{2}\end{aligned}$
3. （3）
解：
$\begin{aligned}x^{2}y^{2}+\frac{1}{2}xy+\frac{1}{16}&=(xy)^2 + 2× xy×\frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2\\&=(xy + \frac{1}{4})^{2}\end{aligned}$
4. （4）
解：
$\begin{aligned}25a^{2}-80ab + 64b^{2}&=(5a)^2 - 2×5a×8b + (8b)^2\\&=(5a - 8b)^{2}\end{aligned}$

2. 现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张,卡片的边长如图(1)所示($a＞1$). 某同学分别用 $6$ 张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙),如图(2)和图(3),其面积分别为 $S_{1},S_{2}$.

(1) 请用含 $a$ 的式子分别表示 $S_{1},S_{2}$,当 $a = 2$ 时,求 $S_{1}+S_{2}$ 的值；
(2) 比较 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的大小,并说明理由.

答案： 2.
(1)$S_{1}=a^{2}+3a+2$，$S_{2}=5a+1$，$S_{1}+S_{2}=23$
(2)$S_{1}＞S_{2}$

3. 已知 $4y^{2}+my + 9$ 是完全平方式,求整数 $m$ 的值.

答案： 3.$\pm 12$

给出三个多项式:①$2x^{2}+4x - 4$；②$2x^{2}+12x + 4$；③$2x^{2}-4x$. 请你把其中任意两个多项式进行加法运算(写出所有可能的结果),并把每个结果因式分解.

答案： 解：
- ①+②：
$(2x^{2}+4x - 4)+(2x^{2}+12x + 4)$
$=2x^{2}+4x - 4+2x^{2}+12x + 4$
$=4x^{2}+16x$
$=4x(x + 4)$
- ①+③：
$(2x^{2}+4x - 4)+(2x^{2}-4x)$
$=2x^{2}+4x - 4+2x^{2}-4x$
$=4x^{2}-4$
$=4(x^{2}-1)$
$=4(x + 1)(x - 1)$
- ②+③：
$(2x^{2}+12x + 4)+(2x^{2}-4x)$
$=2x^{2}+12x + 4+2x^{2}-4x$
$=4x^{2}+8x + 4$
$=4(x^{2}+2x + 1)$
$=4(x + 1)^{2}$
综上，①+②的结果为$4x(x + 4)$；①+③的结果为$4(x + 1)(x - 1)$；②+③的结果为$4(x + 1)^{2}$。