《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

13. 如图,已知$\triangle ABC和\triangle ADE$,$AB = AD$,$\angle BAD = \angle CAE$,$\angle B = \angle D$,$AD与BC交于点P$,点$C在DE$上.
(1) 求证：$BC = DE$.
(2) 若$\angle B = 30^{\circ}$,$\angle APC = 70^{\circ}$.
① 求$\angle E$的度数.
② 求证：$CP = CE$.

答案：
(1)
∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.在△BAC和△DAE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠B=∠D,\\ AB=AD,\\ ∠BAC=∠DAE,\end{array}\right. $
∴△BAC≌△DAE(ASA),
∴BC=DE.
(2)①
∵∠B=30°,∠APC=70°,
∴∠BAP=∠APC-∠B=70°-30°=40°,
∴∠CAE=40°.
∵△BAC≌△DAE,
∴AC=AE.
∴∠AEC=∠ACE.
∵∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=120°,
∴∠ACE=60°.②
∵△BAC≌△DAE,
∴∠ACB=∠E=70°,
∴∠ACB=∠ACE,∠APC=∠E.在△ACP和△ACE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠APC=∠E,\\ ∠ACP=∠ACE,\\ AC=AC,\end{array}\right. $
∴△ACP≌△ACE(AAS),
∴CP=CE.

14. 两个大小不同的等腰直角三角形三角尺如图(1) 所示放置,图(2) 是由它抽象出的几何图形,$B$,$C$,$E$在同一条直线上,连接$DC$.
(1) 请找出图(2) 中的全等三角形,并给予证明. (结论中不得含有未标识的字母)
(2) 证明：$DC \perp BE$.

答案： 1. （1）
解：$\triangle ABE\cong\triangle ACD$。
证明：因为$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等腰直角三角形，所以$AB = AC$，$AD = AE$，$\angle BAC=\angle DAE = 90^{\circ}$。
则$\angle BAC+\angle CAE=\angle DAE+\angle CAE$，即$\angle BAE=\angle CAD$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAE=\angle CAD\\AE = AD\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle ACD$。
2. （2）
证明：因为$\triangle ABC$是等腰直角三角形，所以$\angle ABC=\angle ACB = 45^{\circ}$。
由（1）知$\triangle ABE\cong\triangle ACD$，所以$\angle ACD=\angle ABC = 45^{\circ}$。
那么$\angle BCD=\angle ACB+\angle ACD=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$。
所以$DC\perp BE$。

在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,直线$l经过点A$.
(1) 若$\angle BAC = 90^{\circ}$,分别过点$B$,$C向直线l$作垂线,垂足分别为$D$,$E$. 如图(1),当点$B$,$C位于直线l$的同侧时,易得$\triangle ABD \cong \triangle CAE$. 如图(2),若点$B$,$C在直线l$的异侧,其他条件不变,结论$\triangle ABD \cong \triangle CAE$是否依然成立？若成立,请写出证明过程；若不成立,请说明理由.
(2) 如图(3),点$D$,$E分别在直线l$上,点$B$,$C位于l$的同一侧,若$\angle CEA = \angle ADB = \angle BAC$,求证：$AD = CE$.

答案：
(1)当点B,C位于直线l的同侧时,如题图
(1),
∵BD⊥l,CE⊥l,
∴∠ADB=∠CEA=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠ABD=∠CEA=90°-∠BAD.在△ABD和△CAE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ADB=∠CEA,\\ ∠ABD=∠CAE,\\ AB=CA,\end{array}\right. $
∴△ABD≌△CAE(AAS).当点B,C位于直线l的异侧时,△ABD≌△CAE依然成立.证明:如题图
(2),
∵BD⊥l,CE⊥l,
∴∠ADB=∠CEA=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠ABD=∠CAE=90°-∠BAD.在△ABD和△CAE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ADB=∠CEA,\\ ∠ABD=∠CAE,\\ AB=CA,\end{array}\right. $
∴△ABD≌△CAE(AAS).
(2)如题图
(3),
∵∠ADB=∠BAC,
∴∠ADB+∠BAD=∠BAC+∠BAD.
∵∠ADB+∠BAD=180°-∠ABD,∠BAC+∠BAD=180°-∠CAE,
∴180°-∠ABD=180°-∠CAE,
∴∠ABD=∠CAE.在△ABD和△CAE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ADB=∠CEA,\\ ∠ABD=∠CAE,\\ AB=CA,\end{array}\right. $
∴△ABD≌△CAE(AAS).
∴AD=CE.