《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

20. 如图,已知点 $ A $,$ D $,$ C $,$ F $ 在同一直线上,$ AB // DE $,$ \angle B = \angle E $,$ BC = EF $。求证：$ AD = CF $。

答案： 解：
因为$AB// DE$，所以$\angle A=\angle EDF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases}\angle A=\angle EDF\\\angle B=\angle E\\BC = EF\end{cases}$
所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF(AAS)$。
则$AC = DF$。
因为$AC=AD + DC$，$DF=DC + CF$，
所以$AD + DC=DC + CF$，
两边同时减去$DC$得$AD = CF$。
综上，$AD = CF$得证。

21. 如图,在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle ADE $ 中,$ \angle BAC = \angle DAE = 90^{\circ} $,$ AB = AC $,$ AD = AE $,点 $ C $,$ D $,$ E $ 三点在同一直线上,连接 $ BD $。
(1)求证：$ \triangle BAD \cong \triangle CAE $。
(2)猜想 $ BD $,$ CE $ 有何特殊位置关系,并证明。

答案： 1. （1）证明$\triangle BAD\cong\triangle CAE$：
解：
因为$\angle BAC=\angle DAE = 90^{\circ}$，所以$\angle BAC+\angle CAD=\angle DAE+\angle CAD$。
即$\angle BAD=\angle CAE$。
在$\triangle BAD$和$\triangle CAE$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AC\\\angle BAD=\angle CAE\\AD = AE\end{array}\right.$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle BAD\cong\triangle CAE$。
2. （2）猜想$BD$与$CE$的位置关系并证明：
解：
猜想$BD\perp CE$。
由（1）知$\triangle BAD\cong\triangle CAE$，所以$\angle ADB=\angle AEC$。
因为$\angle DAE = 90^{\circ}$，所以$\angle ADE+\angle AED = 90^{\circ}$。
又因为$\angle ADB=\angle AEC$，所以$\angle ADE+\angle AEC=\angle ADE+\angle ADB = 90^{\circ}$。
即$\angle BDE = 90^{\circ}$，所以$BD\perp CE$。
综上，（1）已证明$\triangle BAD\cong\triangle CAE$；（2）$BD$与$CE$的位置关系是$BD\perp CE$。

22. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AD $ 是 $ \angle BAC $ 的平分线,$ DE \perp AB $,交 $ AB $ 于点 $ E $,点 $ F $ 在 $ AC $ 上,$ BD = DF $。求证：
(1)$ CF = EB $；
(2)$ AB = AF + 2EB $。

答案： （1）
∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.又
∵BD=DF,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL),
∴CF=EB.　（2）由
(1)可知DE=DC,又AD=AD,
∴Rt△ADC≌Rt△ADE.
∴AC=AE.
∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.

23. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 90^{\circ} $,$ AB = AC $,$ AE $ 是过点 $ A $ 的一条直线,且 $ BD \perp AE $ 于 $ D $,$ CE \perp AE $ 于 $ E $。
(1)当直线 $ AE $ 处于如图(1)的位置时,有 $ BD = DE + CE $,请说明理由。
(2)当直线 $ AE $ 处于如图(2)的位置时,$ BD $,$ DE $,$ CE $ 的关系如何？请说明理由。
(3)归纳(1)(2),请用简洁的语言表达 $ BD $,$ DE $,$ CE $ 之间的关系。

答案： （1）提示:证△ABD≌△ACE;　（2）DE=BD+CE,理由略　（3）略