《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第 $ 99 \sim 100 $ 页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
(1) 完成教科书页 $ 99 $ 探究中的填空.（根据教科书实际内容填写，示例：$6^8；$$a^6；$$a^{2m}）$
(2) 探究中的三个算式有什么共同特点？计算结果有什么规律？都是幂的乘方，底数不变，指数相乘
(3) 幂的乘方的运算性质：
$ (a^{m})^{n} = $$a^{mn}$（$ m,n $ 都是正整数）.
即幂的乘方,底数不变,指数相乘.

答案：
(1) （根据教科书实际内容填写，示例：6^8；a^6；a^{2m}）
(2) 都是幂的乘方，底数不变，指数相乘
(3) $a^{mn}$；相乘

4. 下面的计算是否正确？如果不正确,应当怎样改正？
(1) $ (a^{5})^{2} = a^{7} $; (2) $ (a^{3})^{2} \cdot a^{4} = a^{9} $.

答案：
(1) 不正确；
改正：根据幂的乘方运算法则，$(a^{m})^{n} = a^{mn}$，
所以 $(a^{5})^{2} = a^{5 × 2} = a^{10}$。
(2) 不正确；
改正：根据幂的乘方运算法则和同底数幂的乘法运算法则，
有 $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ 和 $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$，
所以 $(a^{3})^{2} \cdot a^{4} = a^{3 × 2} \cdot a^{4} = a^{6} \cdot a^{4} = a^{10}$。

例 $ 1 $ 计算：
(1) $ (10^{3})^{5} $; (2) $ (a^{4})^{4} $;
(3) $ (a^{m})^{2} $; (4) $ - (x^{4})^{3} $.
变式 (1) $ 8^{2} = 2^{(6)} = 2^{2} × 2^{(4)} $;
(2) $ a^{12} = (a^{3})^{(4)} = (a^{2})^{(6)} = a^{3} \cdot a^{(9)} $.

答案： 例1
(1) $(10^{3})^{5} = 10^{3×5} = 10^{15}$
(2) $(a^{4})^{4} = a^{4×4} = a^{16}$
(3) $(a^{m})^{2} = a^{m×2} = a^{2m}$
(4) $-(x^{4})^{3} = -x^{4×3} = -x^{12}$
变式
(1) $8^{2} = (2^{3})^{2} = 2^{6}$；$2^{2}×2^{4} = 2^{6}$，故填 $6$，$4$
(2) $a^{12} = (a^{3})^{4}$（$3×4=12$）；$a^{12} = (a^{2})^{6}$（$2×6=12$）；$a^{3}·a^{9} = a^{12}$（$3+9=12$），故填 $4$，$6$，$9$
答案
例1：
(1)$10^{15}$；
(2)$a^{16}$；
(3)$a^{2m}$；
(4)$-x^{12}$
变式：
(1)$6$，$4$；
(2)$4$，$6$，$9$

例 $ 2 $ 已知 $ 3 × 9^{n} = 3^{7} $,求 $ n $ 的值.

答案： 解：因为$9^{n}=(3^{2})^{n}=3^{2n}$，所以$3×9^{n}=3×3^{2n}=3^{1 + 2n}$。
已知$3×9^{n}=3^{7}$，则$3^{1 + 2n}=3^{7}$，所以$1 + 2n = 7$，解得$2n=6$，$n = 3$。
结论：$n=3$

1. 计算：
(1) $ (10^{2})^{3} $; (2) $ (x^{3})^{2} $;
(3) $ - (x^{m})^{5} $; (4) $ (a^{2})^{3} \cdot a^{5} $;
(5) $ [(x^{2})^{3}]^{7} $; (6) $ x \cdot (x^{2})^{3} \cdot (x^{3})^{2} $.

答案： 1.
(1)$10^{6}$
(2)$x^{6}$
(3)$-x^{5m}$
(4)$a^{11}$
(5)$x^{42}$
(6)$x^{13}$