《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

22. (6 分) 如图,在四边形 ABCD 中,∠A = ∠C = 90°,BE 平分∠ABC,DF 平分∠ADC。求证：BE//DF。

答案： 提示:证∠ABC与∠ADC互补.

23. (7 分) 如图,AD⊥BC,EG⊥BC,D,G 分别是垂足。如果∠GEC = ∠3,那么 AD 平分∠BAC 吗？为什么？

答案： 解：AD平分∠BAC。
理由如下：
因为$AD\perp BC$，$EG\perp BC$，所以$AD// EG$（垂直于同一条直线的两条直线平行）。
根据两直线平行，同位角相等，可得$\angle 1 = \angle GEC$（同位角），两直线平行，内错角相等，可得$\angle 2=\angle 3$（内错角）。
又因为$\angle GEC=\angle 3$，所以$\angle 1 = \angle 2$。
根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，所以AD平分$\angle BAC$。

24. (8 分) 探究与发现：
(1) 如图(1),在△ADC 中,DP,CP 分别平分∠ADC 和∠ACD。
① 若∠A = 70°,则∠P = 125°。
② 若∠A = α,用含有 α 的式子表示∠P 为90°+$\frac{1}{2}$α。
(2) 如图(2),在四边形 ABCD 中,DP,CP 分别平分∠ADC 和∠BCD,试探究∠P 与∠A + ∠B 的数量关系,并说明理由。
∠P=$\frac{1}{2}$(∠A+∠B)
(3) 如图(3),在六边形 ABCDEF 中,DP,CP 分别平分∠EDC 和∠BCD,请直接写出∠P 与∠A + ∠B + ∠E + ∠F 的数量关系：∠P=$\frac{1}{2}$(∠A+∠B+∠E+∠F)-180°。

答案： 1. （1）
①
解：在$\triangle ADC$中，$\angle A+\angle ADC+\angle ACD = 180^{\circ}$，因为$\angle A = 70^{\circ}$，所以$\angle ADC+\angle ACD=180^{\circ}-\angle A = 110^{\circ}$。
因为$DP$，$CP$分别平分$\angle ADC$和$\angle ACD$，所以$\angle PDC=\frac{1}{2}\angle ADC$，$\angle PCD=\frac{1}{2}\angle ACD$。
在$\triangle PDC$中，$\angle P = 180^{\circ}-(\angle PDC+\angle PCD)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ADC+\angle ACD)$。
把$\angle ADC+\angle ACD = 110^{\circ}$代入得$\angle P=180^{\circ}-\frac{1}{2}×110^{\circ}=180^{\circ}-55^{\circ}=125^{\circ}$。
②
解：在$\triangle ADC$中，$\angle A+\angle ADC+\angle ACD = 180^{\circ}$，则$\angle ADC+\angle ACD=180^{\circ}-\angle A = 180^{\circ}-\alpha$。
因为$DP$，$CP$分别平分$\angle ADC$和$\angle ACD$，所以$\angle PDC=\frac{1}{2}\angle ADC$，$\angle PCD=\frac{1}{2}\angle ACD$。
在$\triangle PDC$中，$\angle P = 180^{\circ}-(\angle PDC+\angle PCD)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ADC+\angle ACD)$。
把$\angle ADC+\angle ACD = 180^{\circ}-\alpha$代入得$\angle P=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha$。
2. （2）
解：在四边形$ABCD$中，$\angle A+\angle B+\angle ADC+\angle BCD = 360^{\circ}$，所以$\angle ADC+\angle BCD=360^{\circ}-(\angle A + \angle B)$。
因为$DP$，$CP$分别平分$\angle ADC$和$\angle BCD$，所以$\angle PDC=\frac{1}{2}\angle ADC$，$\angle PCD=\frac{1}{2}\angle BCD$。
在$\triangle PDC$中，$\angle P = 180^{\circ}-(\angle PDC+\angle PCD)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ADC+\angle BCD)$。
把$\angle ADC+\angle BCD = 360^{\circ}-(\angle A+\angle B)$代入得$\angle P=180^{\circ}-\frac{1}{2}[360^{\circ}-(\angle A+\angle B)]=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)$。
3. （3）
解：六边形内角和$(6 - 2)×180^{\circ}=720^{\circ}$，即$\angle A+\angle B+\angle E+\angle F+\angle EDC+\angle BCD=720^{\circ}$，所以$\angle EDC+\angle BCD=720^{\circ}-(\angle A+\angle B+\angle E+\angle F)$。
因为$DP$，$CP$分别平分$\angle EDC$和$\angle BCD$，所以$\angle PDC=\frac{1}{2}\angle EDC$，$\angle PCD=\frac{1}{2}\angle BCD$。
在$\triangle PDC$中，$\angle P = 180^{\circ}-(\angle PDC+\angle PCD)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle EDC+\angle BCD)$。
把$\angle EDC+\angle BCD = 720^{\circ}-(\angle A+\angle B+\angle E+\angle F)$代入得$\angle P=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B+\angle E+\angle F)-180^{\circ}$。
综上，答案依次为：（1）①$125^{\circ}$；②$90^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha$；（2）$\angle P=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B)$；（3）$\angle P=\frac{1}{2}(\angle A+\angle B+\angle E+\angle F)-180^{\circ}$。