《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

变式 如图,所给网格图中每小格均为边长是1的正方形,△ABC的顶点均在格点上. 请完成下列各题.(用直尺画图)
(1)画出△ABC关于直线DE对称的$△A_1B_1C_1；$
(2)在DE上画出点P,使PB + PC最小；
(3)在DE上画出点Q,使QA + QC最小.

答案：
(1)
找出点$A$、$B$、$C$关于直线$DE$的对称点$A_1$、$B_1$、$C_1$。
点$A$关于直线$DE$对称的点$A_1$，过$A$作$DE$垂线，延长相同距离得到$A_1$；同理得到$B_1$、$C_1$。
连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，$\triangle A_1B_1C_1$即为所求。
(2)
连接$B_1$与$C$，与$DE$交点即为点$P$。
因为$PB = PB_1$（对称性质），根据两点之间线段最短，$B_1C$与$DE$交点$P$使$PB + PC$最小。
(3)
连接$A_1$与$C$，与$DE$交点即为点$Q$。
因为$QA = QA_1$（对称性质），根据两点之间线段最短，$A_1C$与$DE$交点$Q$使$QA + QC$最小。

1. 如图,在平面直角坐标系中,A(-3,3),B(-1,-1),在y轴上画出一个点P,使PA + PB最小,并写出点P的坐标.

答案： 画图略. 点P的坐标为(0,0).

2. 如图,已知△ABC是等边三角形,CD⊥AB于点D,点E是AC的中点. 在直线CD上求作一点P,使PA + PE最小.

答案：
∵△ABC是等边三角形,CD⊥AB,
∴ 点E关于直线CD的对称点F在线段CB上,连接AF交CD于点P,连接PE,此时PA+PE的值最小. 点P即为所求作(图略).

1. 如图,等边△ABC的边长为2,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A'BC'关于直线l对称,D为线段BC'上一动点,则AD + CD的最小值是(A)

A.4
B.5
C.6
D.7

答案： A

2. 如图,等腰△ABC的底边BC长为6,面积是18,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于点E,F. 若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为(C)

A.6
B.8
C.9
D.10

答案： C

3. (1)在网格中画出△ABC关于y轴对称的$△A_1B_1C_1；$
(2)写出△ABC关于x轴对称的$△A_2B_2C_2$的各顶点坐标；
(3)在y轴上确定一点P,使PA + PB最短.(只需作图,保留作图痕迹)

答案：
(1)略
(2)A₂(-3,-2),B₂(-4,3),C₂(-1,1)
(3)略