《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图,AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别为B,D,∠1= ∠2. 求证:AB= AD.

答案： 提示:AC 为公共边,证△ABC≌△ADC.

2. 如图,在Rt△ABC中,∠B= 90°,CD//AB,DE⊥AC于点E,且CE= AB. 求证:∠A= ∠DCE.

答案： 解：
因为$CD// AB$，所以$\angle B+\angle BCD = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）。
又因为$\angle B = 90^{\circ}$，所以$\angle BCD=90^{\circ}$，即$\angle DCE+\angle ACB = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A+\angle ACB = 90^{\circ}$（直角三角形两锐角互余）。
所以$\angle A=\angle DCE$（同角的余角相等）。

3. 如图,∠C= ∠D= 90°,∠CBA= ∠DAB.
(1) 求证:△ABC≌△BAD.
(2) 若∠DAB= 70°,则∠CAB= 20°.

答案：
(1)在△ABC和△BAD中, ∠C=∠D=90°,
∠CBA=∠DAB,
∴△ABC≌△BAD(AAS).
(2)
∵∠DAB=70°,∠D=90°,
AB=BA,
∴∠DBA=90°-70°=20°.由
(1)知△ABC≌△BAD,
∴∠CAB=∠DBA=20°.

1. 如图,∠1= ∠2,∠3= ∠4. 求证:AC= AD.

答案： 提示:证△ABC≌△ABD.

2. 如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,CF//AB,交DE的延长线于点F. 求证:BD= CF.

答案： 解：
因为$D$，$E$分别是$AB$，$AC$的中点，所以$DE// BC$（三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边）。
又因为$CF// AB$，所以四边形$BCFD$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，所以$BD = CF$。

3. 如图,点B,E,C,F在一条直线上,BE= CF,AB//DE,∠A= ∠D. 求证:AC//DF.

答案：
∵AB//DE,
∴∠B=∠DEF.
∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
∵∠A=∠D,
∴△ABC≌△DEF.
∴∠ACB=∠DFE.
∴AC//DF.

如图,D是△ABC的边AB上一点,CF//AB,DF交AC于E点,DE= EF.
(1) 求证:△ADE≌△CFE.
(2) 若AB= 5,CF= 4,求BD的长.

答案：
(1)
∵CF//AB,
∴∠ADF=∠F,∠A=∠ECF. 在△ADE和△CFE中, ∠A=∠ECF,
∠ADE=∠F,
∴△ADE≌△CFE(AAS).
(2)
∵△ADE≌△CFE,
∴AD=CF=4.
∴BD=AB-AD=5-4=1.
DE=EF,