《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第 $11\sim13$ 页的内容, 标注出你认为重要的内容, 并解决下列问题.
(1) 在教科书第 $11$ 页“探究”的两种剪拼方法中, $\angle A,\angle B,\angle C$ 都拼成了什么角? 在这个操作过程中, 你能发现证明的思路吗?
(2) 三角形的内角和定理: 三角形的内角的和等于180°.
(1)平角；能，利用平行线构造平角证明。

答案：
(1)平角；能，利用平行线构造平角证明。
(2)180°

3. (1) 一个三角形的三个内角中, 最多有几个直角? 为什么?
(2) 一个三角形的三个内角中, 最多有几个钝角? 为什么?

答案：
(1)
答：一个三角形的三个内角中，最多有$1$（或 $0$）个直角（但实际最多只能有$1$个直角的情况不存在于非直角三角形中，所以严格说最多只能有$1$个，且当有一个直角时，其余两个为锐角），以下为严格说明：
假设三角形有三个直角，则内角和为$270°$，与三角形内角和为$180°$相矛盾，所以不可能有三个直角；
假设三角形有两个直角，设两个直角分别为$\angle A=90°$，$\angle B = 90°$，则$\angle A+\angle B = 180°$，那么第三个角$\angle C=180° - (\angle A+\angle B)=0°$，不满足三角形角的定义，所以三角形最多有$1$个直角。
(2)
答：一个三角形的三个内角中，最多有$1$个钝角，以下为说明：
假设三角形有两个钝角，设两个钝角$\angle A\gt90°$，$\angle B\gt90°$，则$\angle A + \angle B\gt180°$，那么第三个角$\angle C=180°-(\angle A + \angle B)\lt0°$，不满足三角形角的定义，所以三角形最多有$1$个钝角。

例 $1$ 如图, 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle BAC = 40^{\circ}$, $\angle B = 75^{\circ}$, $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线. 求 $\angle ADB$ 的度数.

答案： 在$\triangle ABC$中，
已知$\angle BAC = 40^{\circ}$，$\angle B = 75^{\circ}$，
根据三角形内角和为$180 ^{\circ}$，
可得：$\angle C = 180 ^{\circ} - \angle BAC - \angle B = 180 ^{\circ} - 40 ^{\circ} - 75 ^{\circ} = 65 ^{\circ}$，
由于$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，
根据角平分线的性质，有：
$\angle BAD = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} × 40 ^{\circ} = 20 ^{\circ}$，
在$\triangle ABD$中，
已知$\angle BAD = 20 ^{\circ}$，$\angle B = 75 ^{\circ}$，
根据三角形内角和为$180 ^{\circ}$，
可得：$\angle ADB = 180 ^{\circ} - \angle BAD - \angle B = 180 ^{\circ} - 20 ^{\circ} - 75 ^{\circ} = 85 ^{\circ}$。
所以，$\angle ADB$的度数为$85 ^{\circ}$。

例 $2$ 如图是 $A,B,C$ 三岛的平面图, $C$ 岛在 $A$ 岛的北偏东 $50^{\circ}$ 方向, $B$ 岛在 $A$ 岛的北偏东 $80^{\circ}$ 方向, $C$ 岛在 $B$ 岛的北偏西 $40^{\circ}$ 方向, 从 $B$ 岛看 $A,C$ 两岛的视角 $\angle ABC$ 是多少度? 从 $C$ 岛看 $A,B$ 两岛的视角 $\angle ACB$ 呢?

答案： 解：
1. 由题意，C岛在A岛北偏东50°，B岛在A岛北偏东80°，则∠CAD=50°，∠BAD=80°，

∴∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°。
2. 过A、B分别作正北方向射线AD、BE，AD//BE（正北方向平行），
∠DAB=80°，由AD//BE得∠DAB+∠ABE=180°（同旁内角互补），

∴∠ABE=180°-80°=100°。
又C岛在B岛北偏西40°，即∠EBC=40°，

∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°。
3. 在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-30°-60°=90°。
∠ABC=60°，∠ACB=90°。

1. 求出下列图形中的 $x$ 的值.

答案：
(1)33
(2)60
(3)54
(4)60