《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第125～126页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
1. $8a^{3}b^{2}与12ab^{3}c$的公因式是4ab².
2. $2a(b + c)与-3(b + c)$的公因式是(b + c).
3. $(a - b)与(b - a)$有什么关系? $(b - a)^{2}与(a - b)^{2}$有什么关系?
(a - b)与(b - a)互为相反数；(b - a)²与(a - b)²相等。

答案： 1. 4ab²
2. (b + c)
3. (a - b)与(b - a)互为相反数；(b - a)²与(a - b)²相等。

例1 把$8a^{3}b^{2} + 12ab^{3}c$分解因式.
例2 分解因式：
(1)$2a(b + c) - 3(b + c)$；
(2)$4(a - b)^{3} + 8(b - a)^{2}$.

答案： 例1
$8a^{3}b^{2}+12ab^{3}c$
$=4ab^{2}×2a^{2}+4ab^{2}×3bc$
$=4ab^{2}(2a^{2} + 3bc)$
例2
(1)
$2a(b + c)-3(b + c)$
$=(b + c)(2a - 3)$
(2)
因为$(b - a)^{2}=[-(a - b)]^{2}=(a - b)^{2}$
$4(a - b)^{3}+8(b - a)^{2}$
$=4(a - b)^{3}+8(a - b)^{2}$
$=4(a - b)^{2}(a - b + 2)$

1. 分解因式：
(1)$8m^{2}n + 2mn$；
(2)$4a^{2} + 10ab - ab^{2}$；
(3)$p(a^{2} + b^{2}) - q(a^{2} + b^{2})$；
(4)$3(a + b)^{2} + 6(a + b)$；
(5)$2a(y - z)^{3} - 4b(z - y)^{3}$；
(6)$mn(m - n) - m(n - m)^{2}$.

答案： 1. （1）
解：$8m^{2}n + 2mn$
提取公因式$2mn$，可得$2mn(4m + 1)$。
2. （2）
解：$4a^{2}+10ab - ab^{2}$
提取公因式$a$，得到$a(4a + 10b - b^{2})$。
3. （3）
解：$p(a^{2}+b^{2})-q(a^{2}+b^{2})$
提取公因式$(a^{2}+b^{2})$，则$(a^{2}+b^{2})(p - q)$。
4. （4）
解：$3(a + b)^{2}+6(a + b)$
提取公因式$3(a + b)$，即$3(a + b)[(a + b)+2]=3(a + b)(a + b + 2)$。
5. （5）
解：$2a(y - z)^{3}-4b(z - y)^{3}$
因为$(z - y)^{3}=-(y - z)^{3}$，所以原式$=2a(y - z)^{3}+4b(y - z)^{3}$。
提取公因式$2(y - z)^{3}$，得到$2(y - z)^{3}(a + 2b)$。
6. （6）
解：$mn(m - n)-m(n - m)^{2}$
因为$(n - m)^{2}=(m - n)^{2}$，所以原式$=mn(m - n)-m(m - n)^{2}$。
提取公因式$m(m - n)$，则$m(m - n)[n-(m - n)]=m(m - n)(2n - m)$。
综上，答案依次为：（1）$2mn(4m + 1)$；（2）$a(4a + 10b - b^{2})$；（3）$(a^{2}+b^{2})(p - q)$；（4）$3(a + b)(a + b + 2)$；（5）$2(y - z)^{3}(a + 2b)$；（6）$m(m - n)(2n - m)$。