《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

2. 如图,把一块含有 $45^{\circ}$ 的直角三角尺的两个顶点放在直尺的对边上. 已知 $\angle 1 = 20^{\circ}$,求 $\angle 2$ 的度数.

答案： 25°

3. 如图,$AD\perp BC,\angle 1= \angle 2,\angle C = 65^{\circ}$. 求 $\angle BAC$ 的度数.

答案： 70°

1. 根据下列条件判断 $\triangle ABC$ 是不是直角三角形,并说明理由.
(1) $\angle B = 50^{\circ},\angle C = 40^{\circ}$;
(2) $\angle B= \angle C = 45^{\circ}$.

答案： $(1)$ 判断$\triangle ABC$是否为直角三角形
解：根据三角形内角和定理：三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle A+\angle B + \angle C=180^{\circ}$。
已知$\angle B = 50^{\circ}$，$\angle C = 40^{\circ}$，则$\angle A=180^{\circ}-\angle B - \angle C$。
将$\angle B = 50^{\circ}$，$\angle C = 40^{\circ}$代入可得：$\angle A=180^{\circ}-50^{\circ}-40^{\circ}=90^{\circ}$。
因为有一个角是$90^{\circ}$的三角形是直角三角形，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
$(2)$ 判断$\triangle ABC$是否为直角三角形
解：根据三角形内角和定理$\angle A+\angle B + \angle C=180^{\circ}$。
已知$\angle B=\angle C = 45^{\circ}$，则$\angle A=180^{\circ}-\angle B - \angle C$。
将$\angle B=\angle C = 45^{\circ}$代入可得：$\angle A=180^{\circ}-45^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ}$。
因为有一个角是$90^{\circ}$的三角形是直角三角形，所以$\triangle ABC$是直角三角形。
综上，$(1)$$\boldsymbol{\triangle ABC}$是直角三角形，理由：$\angle A = 90^{\circ}$；$(2)$$\boldsymbol{\triangle ABC}$是直角三角形，理由：$\angle A = 90^{\circ}$。

2. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD$ 是高,$BE$ 是角平分线,$AD,BE$ 交于点 $F,\angle C = 30^{\circ},\angle BFD = 70^{\circ}$,求 $\angle BAC$ 的度数.

答案： 110°

3. 如图,$AB// CD,\angle BAE= \angle DCE = 45^{\circ}$. 判断 $\triangle ACE$ 的形状.

答案： 直角三角形

如图摆放的一副学生用直角三角尺,$\angle F = 30^{\circ},\angle C = 45^{\circ},AB$ 与 $DE$ 相交于点 $G$. 当 $EF// BC$ 时,求 $\angle EGB$ 的度数.

答案：

过点G作HG//BC,
∵EF//BC,
∴GH//BC//EF.
∴∠HGB=∠B,∠HGE=∠E.
∵在Rt△DEF和Rt△ABC中,∠F=30°,∠C=45°,
∴∠E=60°,∠B=45°.
∴∠HGB=∠B=45°,∠HGE=∠E=60°.
∴∠EGB=∠HGE+∠HGB=60°+45°=105°.