《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第 114 ~ 115 页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
1. 完成教科书第 114 页探究中的填空,思考四个算式有什么共同的特点？计算结果有什么规律？
2. 完全平方公式：
$ ( a + b ) ^ { 2 } = $$a^2 + 2ab + b^2$
$ ( a - b ) ^ { 2 } = $$a^2 - 2ab + b^2$
也就是说,两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的 2 倍.

答案： 1. （此题无需填写答案）
2. $a^2 + 2ab + b^2$；$a^2 - 2ab + b^2$。

1. 请利用教科书第 115 页思考中的图形,验证完全平方公式；

答案： 设大正方形边长为$a + b$，则其面积为$(a + b)^2$。
将大正方形分为两部分：边长为$a$的正方形，面积为$a^2$；两个长为$a$，宽为$b$的小长方形，面积均为$ab$；边长为$b$的正方形，面积为$b^2$。
所以大正方形面积也可表示为$a^2 + 2ab + b^2$。
因为大正方形面积有两种表示方式，所以$(a + b)^2=a^2 + 2ab + b^2$，完全平方公式得证。

2. 下面的计算是否正确？如果不正确,应当怎么改正？

答案：
(1)不正确，改正：$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
(2)不正确，改正：$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。

3.  $(a + b)^{2}$ 与 $(-a - b)^{2}$相等吗？
(a−b)2与(b−a)2相等吗？$(a - b)^{2}$ 与 $a^{2} - b^{2}$相等吗？为什么？

答案： 1. 对于 $(a + b)^{2}$ 与 $(-a - b)^{2}$：
$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
$(-a - b)^{2} = (-1)^{2}(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$
所以，$(a + b)^{2} = (-a - b)^{2}$。
2. 对于 $(a - b)^{2}$ 与 $(b - a)^{2}$：
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
$(b - a)^{2} = (b - a)(b - a) = b^{2} - 2ab + a^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
所以，$(a - b)^{2} = (b - a)^{2}$。
3. 对于 $(a - b)^{2}$ 与 $a^{2} - b^{2}$：
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$
$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$
显然，$(a - b)^{2} \neq a^{2} - b^{2}$，因为 $a^{2} - 2ab + b^{2} \neq (a + b)(a - b)$。
所以，$(a - b)^{2}$ 与 $a^{2} - b^{2}$ 不相等。

例 1 运用完全平方公式计算：
(1)$(4m + n)^2$
(2)$(y-\frac{1}{2})^2$

答案：
(1)
根据完全平方公式$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，在$(4m + n)^2$中，$a = 4m$，$b = n$，则：
$(4m + n)^2=(4m)^2+2×4m× n + n^2 = 16m^2 + 8mn + n^2$
(2)
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2-2ab + b^2$，在$(y-\frac{1}{2})^2$中，$a = y$，$b=\frac{1}{2}$，则：
$(y-\frac{1}{2})^2=y^2-2× y×\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=y^2 - y+\frac{1}{4}$

例 2 运用完全平方公式计算：
(1)$102^2$； (2)$99^2$.

答案：
(1) $102^2=(100+2)^2$
$=100^2+2×100×2+2^2$
$=10000+400+4$
$=10404$
(2) $99^2=(100-1)^2$
$=100^2-2×100×1+1^2$
$=10000-200+1$
$=9801$

1. 运用完全平方公式计算：
(1)(x+6)2；
(2)$( y - 5 ) ^ 2 $；
(3)$( - 2 x + 5 ) ^ 2$；
(4)$( \frac { 3 } { 4 } x - \frac { 2 } { 3 } y ) ^ { 2 }$
.

答案： 1.
(1)$x^{2}+12x+36$
(2)$y^{2}-10y+25$
(3)$4x^{2}-20x+25$
(4)$\frac {9}{16}x^{2}-xy+\frac {4}{9}y^{2}$