《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

16. 分解因式：
(1)$- 16a^{2} + (a^{2} + 4)^{2}$；
(2)$m^{4} - 18m^{2} + 81$；
(3)$1 - 81y^{4}$；
(4)$a^{2}(a - b) + b^{2}(b - a)$.

答案：
(1)$(a+2)^{2}(a-2)^{2}$
(2)$(m+3)^{2}(m-3)^{2}$
(3)$(1+9y^{2})(1+3y)(1-3y)$
(4)$(a-b)^{2}(a+b)$

17. (1) 填空：$x^{2} +$$12x$$+ 36 = (x + 6)^{2}$；$3m^{2} + 6m = 3(m + 1)^{2}$$-3$.
(2) 利用配方法分解因式：$x^{2} - 6x - 27$.
解：
$\begin{aligned}x^{2}-6x - 27&=x^{2}-6x+9-9 - 27\\&=(x - 3)^{2}-36\\&=(x - 3)^{2}-6^{2}\\&=(x - 3 + 6)(x - 3-6)\\&=(x + 3)(x - 9)\end{aligned}$
(3) 当$x$为何值时,多项式$-x^{2} - 4x + 1$有最大值？求出这个最大值.
解：
$\begin{aligned} -x^{2}-4x + 1&=-(x^{2}+4x)+1\\&=-(x^{2}+4x + 4-4)+1\\&=-((x + 2)^{2}-4)+1\\&=-(x + 2)^{2}+4 + 1\\&=-(x + 2)^{2}+5\end{aligned}$
因为$(x + 2)^{2}\geq0$，所以$-(x + 2)^{2}\leq0$，当$x+2 = 0$，即$x=-2$时，$-(x + 2)^{2}=0$，此时多项式$-x^{2}-4x + 1$有最大值，最大值为$5$。
综上，当$x=-2$时，多项式$-x^{2}-4x + 1$有最大值，最大值是$5$。

答案： $(1)$ 填空
- 对于$x^{2}+\underline{}\ +36=(x + 6)^{2}$：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，这里$a = x$，$b = 6$，则$2ab=2× x×6 = 12x$，所以$x^{2}+12x + 36=(x + 6)^{2}$。
- 对于$3m^{2}+6m = 3(m + 1)^{2}\underline{}$：
先将$3(m + 1)^{2}$展开，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$，这里$a = m$，$b = 1$，则$3(m + 1)^{2}=3(m^{2}+2m + 1)=3m^{2}+6m+3$，所以$3m^{2}+6m = 3(m + 1)^{2}-3$。
故答案依次为：$12x$；$-3$。
$(2)$ 利用配方法分解因式$x^{2}-6x - 27$
解：
$\begin{aligned}x^{2}-6x - 27&=x^{2}-6x+9-9 - 27\\&=(x - 3)^{2}-36\\&=(x - 3)^{2}-6^{2}\\&=(x - 3 + 6)(x - 3-6)\\&=(x + 3)(x - 9)\end{aligned}$
$(3)$ 求多项式$-x^{2}-4x + 1$的最大值
解：
$\begin{aligned} -x^{2}-4x + 1&=-(x^{2}+4x)+1\\&=-(x^{2}+4x + 4-4)+1\\&=-((x + 2)^{2}-4)+1\\&=-(x + 2)^{2}+4 + 1\\&=-(x + 2)^{2}+5\end{aligned}$
因为$(x + 2)^{2}\geq0$，所以$-(x + 2)^{2}\leq0$，当$x+2 = 0$，即$x=-2$时，$-(x + 2)^{2}=0$，此时多项式$-x^{2}-4x + 1$有最大值，最大值为$5$。
综上，当$x=-2$时，多项式$-x^{2}-4x + 1$有最大值，最大值是$5$。

请用上述方法,把下列各式分解因式：
(1)$4a^{2} - b^{2} + 4a - 2b$；
(2)$x^{2} - y^{2} + a^{2} - b^{2} + 2ax + 2by$.

答案： $(1)$ 分解因式$4a^{2}-b^{2}+4a - 2b$
解：
$\begin{aligned}&4a^{2}-b^{2}+4a - 2b\\=&(4a^{2}-b^{2})+(4a - 2b)\\=&(2a + b)(2a - b)+2(2a - b)\\=&(2a - b)(2a + b + 2)\end{aligned}$
$(2)$ 分解因式$x^{2}-y^{2}+a^{2}-b^{2}+2ax + 2by$
解：
$\begin{aligned}&x^{2}-y^{2}+a^{2}-b^{2}+2ax + 2by\\=&(x^{2}+2ax + a^{2})-(y^{2}-2by + b^{2})\\=&(x + a)^{2}-(y - b)^{2}\\=&(x + a + y - b)(x + a - y + b)\end{aligned}$
综上，答案依次为$(1)\boldsymbol{(2a - b)(2a + b + 2)}$；$(2)\boldsymbol{(x + a + y - b)(x + a - y + b)}$。