《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

7. 计算：
(1)$(x - y)^{2}-(x + y)^{2}$；
(2)$(3a - b)^{2}+(b + 3a)^{2}$；
(3)$(2x - 1)(2x + 1)(4x^{2}+1)$；
(4)$(2m + 3n)^{2}(3n - 2m)^{2}$；
(5)$4(a + 2)^{2}-7(a + 3)(a - 3)+3(a - 1)^{2}$；
(6)$(2a - b - 3)(2a + b - 3)$.

答案： 1. （1）
解：
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，对于$(x - y)^{2}-(x + y)^{2}$，这里$a=(x - y)$，$b=(x + y)$。
则$(x - y)^{2}-(x + y)^{2}=[(x - y)+(x + y)][(x - y)-(x + y)]$。
先计算中括号内：$(x - y)+(x + y)=x - y+x + y = 2x$，$(x - y)-(x + y)=x - y - x - y=-2y$。
所以$(x - y)^{2}-(x + y)^{2}=2x×(-2y)=-4xy$。
2. （2）
解：
根据完全平方公式$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab + b^{2}$，$(3a - b)^{2}=9a^{2}-6ab + b^{2}$，$(b + 3a)^{2}=9a^{2}+6ab + b^{2}$。
则$(3a - b)^{2}+(b + 3a)^{2}=(9a^{2}-6ab + b^{2})+(9a^{2}+6ab + b^{2})$。
去括号得$9a^{2}-6ab + b^{2}+9a^{2}+6ab + b^{2}$。
合并同类项：$(9a^{2}+9a^{2})+(-6ab + 6ab)+(b^{2}+b^{2}) = 18a^{2}+2b^{2}$。
3. （3）
解：
先根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，$(2x - 1)(2x + 1)=4x^{2}-1$。
则$(2x - 1)(2x + 1)(4x^{2}+1)=(4x^{2}-1)(4x^{2}+1)$。
再根据平方差公式$(4x^{2}-1)(4x^{2}+1)=(4x^{2})^{2}-1^{2}=16x^{4}-1$。
4. （4）
解：
先根据积的乘方公式$(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$，$(2m + 3n)^{2}(3n - 2m)^{2}=[(2m + 3n)(3n - 2m)]^{2}$。
再根据平方差公式$(3n + 2m)(3n - 2m)=(3n)^{2}-(2m)^{2}=9n^{2}-4m^{2}$。
所以$[(2m + 3n)(3n - 2m)]^{2}=(9n^{2}-4m^{2})^{2}$。
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，$(9n^{2}-4m^{2})^{2}=81n^{4}-72m^{2}n^{2}+16m^{4}$。
5. （5）
解：
根据完全平方公式$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$，$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，平方差公式$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$。
$4(a + 2)^{2}=4(a^{2}+4a + 4)=4a^{2}+16a + 16$；$7(a + 3)(a - 3)=7(a^{2}-9)=7a^{2}-63$；$3(a - 1)^{2}=3(a^{2}-2a + 1)=3a^{2}-6a + 3$。
则$4(a + 2)^{2}-7(a + 3)(a - 3)+3(a - 1)^{2}=(4a^{2}+16a + 16)-(7a^{2}-63)+(3a^{2}-6a + 3)$。
去括号得$4a^{2}+16a + 16-7a^{2}+63+3a^{2}-6a + 3$。
合并同类项：$(4a^{2}-7a^{2}+3a^{2})+(16a-6a)+(16 + 63+3)=10a + 82$。
6. （6）
解：
把$(2a - b - 3)(2a + b - 3)$变形为$[(2a - 3)-b][(2a - 3)+b]$。
根据平方差公式$(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，这里$a=(2a - 3)$，$b = b$。
则$[(2a - 3)-b][(2a - 3)+b]=(2a - 3)^{2}-b^{2}$。
根据完全平方公式$(2a - 3)^{2}=4a^{2}-12a + 9$。
所以$(2a - 3)^{2}-b^{2}=4a^{2}-12a + 9 - b^{2}$。
综上，答案依次为：（1）$-4xy$；（2）$18a^{2}+2b^{2}$；（3）$16x^{4}-1$；（4）$81n^{4}-72m^{2}n^{2}+16m^{4}$；（5）$10a + 82$；（6）$4a^{2}-12a + 9 - b^{2}$。

8. 先化简,再求值：
(1)$(3x + 4)(3x - 4)-(3x + 4)^{2}$,其中$x= \frac{1}{4}$.
(2)$(2a - b)^{2}-(3a - b)^{2}+5a(a - b)$,其中$a = -\frac{1}{3}$,$b = 2$.

答案：
(1)$-24x-32$,-38
(2)-3ab,2

9. 求值：
(1) 已知$4^{2x}= 2^{3x + 1}$,求$x$的值.
(2) 已知$3\cdot2^{x}+2^{x + 1}= 40$,求$x$的值.

答案： $(1)$
解：
已知$4^{2x}=2^{3x + 1}$，
因为$4 = 2^2$，所以$4^{2x}=(2^2)^{2x}$。
根据幂的乘方公式$(a^m)^n=a^{mn}$，则$(2^2)^{2x}=2^{4x}$。
那么原方程$4^{2x}=2^{3x + 1}$可化为$2^{4x}=2^{3x + 1}$。
根据指数的性质，若$a^m=a^n$（$a\gt0$且$a\neq1$），则$m = n$，所以$4x=3x + 1$。
移项可得$4x-3x=1$，解得$x = 1$。
$(2)$
解：
已知$3\cdot2^{x}+2^{x + 1}=40$，
因为$2^{x + 1}=2×2^{x}$，所以原方程可化为$3\cdot2^{x}+2×2^{x}=40$。
提取公因式$2^{x}$，得到$2^{x}(3 + 2)=40$，即$5\cdot2^{x}=40$。
两边同时除以$5$，得$2^{x}=8$。
又因为$8 = 2^3$，所以$2^{x}=2^3$。
根据指数的性质，若$a^m=a^n$（$a\gt0$且$a\neq1$），则$m = n$，所以$x = 3$。
综上，答案依次为$(1)$$\boldsymbol{1}$；$(2)$$\boldsymbol{3}$。

10. 原题呈现：若$a^{2}+b^{2}+4a - 2b + 5 = 0$,求$a$,$b$的值.
方法介绍：
① 看到$a^{2}+4a$可想到如果添上常数4,恰好就是$a^{2}+4a + 4= (a + 2)^{2}$. 这个过程叫作“配方”. 同理：$b^{2}-2b + 1= (b - 1)^{2}$. 恰好把常数5分配完.
② 从而原式可化为$(a + 2)^{2}+(b - 1)^{2}= 0$,所以$a + 2 = 0且b - 1 = 0$.
经验运用：
(1) 若$4a^{2}+b^{2}-20a + 6b + 34 = 0$,求$a + b$的值；
(2) 若$a^{2}+5b^{2}+c^{2}-2ab - 4b + 6c + 10 = 0$,求$a + b + c$的值.

答案： $(1)$ 求$a + b$的值
解：
对$4a^{2}+b^{2}-20a + 6b + 34 = 0$进行配方：
$\begin{aligned}4a^{2}+b^{2}-20a + 6b + 34&=0\\(4a^{2}-20a + 25)+(b^{2}+6b + 9)&=0\\(2a - 5)^{2}+(b + 3)^{2}&=0\end{aligned}$
因为一个数的平方是非负的，要使$(2a - 5)^{2}+(b + 3)^{2}=0$成立，则$2a - 5 = 0$且$b + 3 = 0$。
由$2a - 5 = 0$，解得$a=\frac{5}{2}$；由$b + 3 = 0$，解得$b=-3$。
所以$a + b=\frac{5}{2}+(-3)=\frac{5}{2}-\frac{6}{2}=-\frac{1}{2}$。
$(2)$ 求$a + b + c$的值
解：
对$a^{2}+5b^{2}+c^{2}-2ab - 4b + 6c + 10 = 0$进行配方：
$\begin{aligned}a^{2}+5b^{2}+c^{2}-2ab - 4b + 6c + 10&=0\\(a^{2}-2ab + b^{2})+(4b^{2}-4b + 1)+(c^{2}+6c + 9)&=0\\(a - b)^{2}+(2b - 1)^{2}+(c + 3)^{2}&=0\end{aligned}$
因为一个数的平方是非负的，要使$(a - b)^{2}+(2b - 1)^{2}+(c + 3)^{2}=0$成立，则$a - b = 0$，$2b - 1 = 0$，$c + 3 = 0$。
由$2b - 1 = 0$，解得$b=\frac{1}{2}$；因为$a - b = 0$，所以$a = b=\frac{1}{2}$；由$c + 3 = 0$，解得$c=-3$。
所以$a + b + c=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+(-3)=1 - 3=-2$。
综上，$(1)$中$a + b$的值为$-\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；$(2)$中$a + b + c$的值为$\boldsymbol{-2}$。