《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

例 3 如图,点$E$,$C在线段BF$上,$BE = CF$,$AB = DE$,$AC = DF$. 求证：$\angle ABC = \angle DEF$.

答案： 证明：
∵ BE = CF，
∴ BE + EC = CF + EC，即 BC = EF。
在△ABC 和△DEF 中，
$\begin{cases}AB = DE, \\AC = DF, \\BC = EF,\end{cases}$
∴ △ABC ≌ △DEF（SSS）。
∴ ∠ABC = ∠DEF。

例 4 如图,$BE \perp AE$,$CF \perp AE$,垂足分别是$E$,$F$,$D是EF$的中点. 求证：$BE = CF$.

答案： 证明：
∵ $ BE \perp AE $，$ CF \perp AE $，
∴ $ \angle CFE = \angle BED = 90° $。
∵ $ D $ 是 $ EF $ 的中点，
∴ $ DF = DE $。
在 $ \triangle CDF $ 和 $ \triangle BDE $ 中，
$ \begin{cases} \angle CFE = \angle BED \\DF = DE \\\angle CDF = \angle BDE \end{cases} $
∴ $ \triangle CDF \cong \triangle BDE \, (ASA) $。
∴ $ BE = CF $。

例 5 如图,在$\triangle ABC和\triangle DEF$中,点$B$,$F$,$C$,$E$在同一条直线上,有下面四个推断：
①$AB = DE$；②$BF = EC$；③$\angle A = \angle D$；④$AB // DE$.
请用其中三个作为条件,余下的一个作为结论,编一道数学题,并写出解答过程.

思考：(1) 本题还有其他解决方案吗？
(2) 解答本题常见的错误是直接选取前三个推断作为条件,这时,在$\triangle ABC和\triangle DEF$中,有两边及其一边的对角相等,因此不能判定三角形全等.

答案： 编题与解答
已知：在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，点$B,F,C,E$共线，$AB=DE$，$BF=EC$，$AB// DE$。
求证：$\angle A=\angle D$。
证明：
$\because AB// DE$，
$\therefore \angle B=\angle E$（两直线平行，同位角相等）。
$\because BF=EC$，
$\therefore BF+FC=EC+FC$，即$BC=EF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases} AB=DE, \\ \angle B=\angle E, \\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore \triangle ABC\cong\triangle DEF(SAS)$。
$\therefore \angle A=\angle D$。
其他解决方案
方案1：已知$AB=DE$，$\angle A=\angle D$，$AB// DE$，求证$BF=EC$。
证明：
$\because AB// DE$，$\therefore \angle B=\angle E$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases} \angle A=\angle D, \\ AB=DE, \\ \angle B=\angle E, \end{cases}$
$\therefore \triangle ABC\cong\triangle DEF(ASA)$。
$\therefore BC=EF$，$\therefore BC-FC=EF-FC$，即$BF=EC$。
方案2：已知$BF=EC$，$\angle A=\angle D$，$AB// DE$，求证$AB=DE$。
证明：
$\because AB// DE$，$\therefore \angle B=\angle E$。
$\because BF=EC$，$\therefore BC=EF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases} \angle A=\angle D, \\ \angle B=\angle E, \\ BC=EF, \end{cases}$
$\therefore \triangle ABC\cong\triangle DEF(AAS)$。
$\therefore AB=DE$。
常见错误
选取条件①②③（$AB=DE$，$BF=EC$，$\angle A=\angle D$），此时为“SSA”，无法判定$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，不能推出结论。

例 6 在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 90^{\circ}$,分别过$B$,$C向过A$的直线作垂线,垂足分别为$E$,$F$.
(1) 如图(1),过$A的直线与斜边BC$不相交时,求证：$EF = BE + CF$.
(2) 如图(2),过$A的直线与斜边BC$相交时,其他条件不变,若$BE = 10$,$CF = 3$,求$FE$的长.

答案：
(1)
证明：
因为$BE\perp EA$，$CF\perp AF$，所以$\angle BEA=\angle AFC = 90^{\circ}$。
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle BAE+\angle FAC = 90^{\circ}$，又因为$\angle ABE + \angle BAE=90^{\circ}$，所以$\angle ABE=\angle FAC$。
在$\triangle BEA$和$\triangle AFC$中，
$\begin{cases}\angle ABE=\angle FAC\\\angle BEA=\angle AFC\\AB = AC\end{cases}$
根据$AAS$判定定理，可得$\triangle BEA\cong\triangle AFC$。
所以$BE = AF$，$EA=CF$。
因为$EF=EA + AF$，所以$EF = BE + CF$。
(2)
因为$BE\perp EA$，$CF\perp AF$，所以$\angle BEA=\angle AFC = 90^{\circ}$。
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle BAE+\angle EAC = 90^{\circ}$，$\angle ACF+\angle EAC=90^{\circ}$，则$\angle BAE=\angle ACF$。
在$\triangle BEA$和$\triangle AFC$中，
$\begin{cases}\angle BAE=\angle ACF\\\angle BEA=\angle AFC\\AB = AC\end{cases}$
根据$AAS$判定定理，可得$\triangle BEA\cong\triangle AFC$。
所以$BE = AF$，$EA=CF$。
因为$EF=AF - EA$，$BE = 10$，$CF = 3$，所以$EF=BE - CF=10 - 3=7$。
综上，
(1)得证$EF = BE + CF$；
(2)中$FE$的长为$7$。

1. 如图,$\angle 1 = \angle 2$,$\angle B = \angle D$. 求证：$AB = CD$.

答案： 提示:证△ABC≌△CDA.