《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

例 3 如图,在 △ABC 中,AE ⊥ BC 于 E,AD 是 ∠BAC 的平分线,∠B = 50°,∠C = 70°,求 ∠DAE 的度数.

答案： 在$\triangle ABC$中，$\angle B=50°$，$\angle C=70°$，
所以$\angle BAC=180° - \angle B - \angle C = 180° - 50° - 70° = 60°$。
由于$AD$是$\angle BAC$的平分线，
所以$\angle BAD = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} × 60° = 30°$。
在$\triangle ABE$中，$\angle AEB=90°$，$\angle B=50°$，
所以$\angle BAE=180° - \angle B - \angle AEB = 180° - 50° - 90° = 40°$。
所以$\angle DAE = \angle BAE - \angle BAD = 40° - 30° = 10°$。
综上所述，$\angle DAE$的度数为$10°$。

例 4 如图,在 △ABC 中,D 是 AB 上一点,∠1 = ∠B,∠A = ∠2. 求证：△ABC 是直角三角形.

答案： 证明：在△ABC中，∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理）。
∵∠ACB = ∠1 + ∠2（角的和差定义），∠1 = ∠B，∠2 = ∠A（已知），
∴∠ACB = ∠B + ∠A（等量代换）。
∴∠A + ∠B + (∠A + ∠B) = 180°（等量代换），
即2(∠A + ∠B) = 180°，
∴∠A + ∠B = 90°，
∴∠ACB = 90°（等量代换）。
∴△ABC是直角三角形（直角三角形定义）。

例 5 如图,AB // CD,过点 D 作 DE ⊥ AC 于点 E. 若 ∠D = 50°,求 ∠A 的度数.

答案：
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°。
在△CDE中，∠C+∠D+∠CED=180°，∠D=50°，
∴∠C=180°-∠D-∠CED=180°-50°-90°=40°。
∵AB//CD，
∴∠A=∠C=40°。
答：∠A的度数为40°。

例 6 如图,∠ECA,∠DAC 分别是 △ABC 的两个外角.
(1)若 ∠B = 50°,求 ∠ECA + ∠DAC 的度数；
(2)若 ∠B = α,请用含 α 的代数式表示 ∠ECA + ∠DAC 的度数.

答案：
(1) 在 △ABC 中，∠B = 50°。
由三角形内角和定理，∠BAC + ∠B + ∠ACB = 180°。
所以 ∠BAC + ∠ACB = 130°。
由外角定理，∠ECA = ∠BAC + ∠B，∠DAC = ∠ACB + ∠B。
所以 ∠ECA + ∠DAC = (∠BAC + ∠B) + (∠ACB + ∠B) = (∠BAC + ∠ACB) + 2∠B = 130° + 100° = 230°。
答案：230°
(2) 在 △ABC 中，∠B = α。
由三角形内角和定理，∠BAC + ∠B + ∠ACB = 180°。
所以 ∠BAC + ∠ACB = 180° - α。
由外角定理，∠ECA = ∠BAC + ∠B，∠DAC = ∠ACB + ∠B。
所以 ∠ECA + ∠DAC = (∠BAC + ∠B) + (∠ACB + ∠B) = (∠BAC + ∠ACB) + 2∠B = 180° - α + 2α = 180° + α。
答案：180° + α

1. 下列图形中具有稳定性的是(C)
A.正方形
B.长方形
C.直角三角形
D.平行四边形

答案： C

2. 已知三角形两边的长分别是 3 和 7,则此三角形第三边的长可能是(C)
A.3
B.4
C.8
D.10

答案： C

3. 如图,∠A = 40°,∠CBD 是 △ABC 的外角,∠CBD = 120°,则 ∠C 的度数是(B)

A.90°
B.80°
C.60°
D.40°

答案： B

4. 将三角尺 ABC 按如图位置摆放,顶点 A 落在直线$ l_1 $上,顶点 B 落在直线$ l_2 $上,若$ l_1 // l_2,∠1 = 25°,$则 ∠2 的度数是(B)

A.45°
B.35°
C.30°
D.25°

答案： B

5. 一副直角三角尺按如图所示的方式摆放,点 E 在 AB 的延长线上,当 DF // AB 时,∠EDB 的度数为(B)

A.10°
B.15°
C.30°
D.45°

答案： B