《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

自学教科书第 $129\sim130$ 页的内容,标注出你认为重要的内容,并解决下列问题.
1. 完全平方公式：
$a^{2}+2ab + b^{2}=$$(a + b)^{2}$；
$a^{2}-2ab + b^{2}=$$(a - b)^{2}$.
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 $2$ 倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
2. 把乘法公式的等号两边互换,就可以得到某些特殊形式的多项式分解因式的公式. 运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.

答案： 1. $(a + b)^{2}$；$(a - b)^{2}$

2. 下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1)$a^{2}-4a + 4$； (2)$1 + 4a^{2}$；
(3)$4b^{2}+4b - 1$； (4)$a^{2}+ab + b^{2}$.

答案：
(1)
$a^{2}-4a + 4$
因为$a^{2}-4a + 4=a^{2}-2×2× a + 2^{2}=(a - 2)^{2}$，符合完全平方式$x^{2}\pm2xy + y^{2}=(x\pm y)^{2}$的形式，所以$a^{2}-4a + 4$是完全平方式。
(2)
$1 + 4a^{2}$
完全平方式的形式为$x^{2}\pm2xy + y^{2}$，在$1 + 4a^{2}$中，缺少中间项$\pm2×1×2a=\pm4a$，所以$1 + 4a^{2}$不是完全平方式。
(3)
$4b^{2}+4b - 1$
完全平方式$x^{2}\pm2xy + y^{2}$展开后二次项、一次项和常数项的符号及关系需满足特定形式，在$4b^{2}+4b - 1$中，若为完全平方式，常数项应为$1$，而此式常数项为$-1$，所以$4b^{2}+4b - 1$不是完全平方式。
(4)
$a^{2}+ab + b^{2}$
完全平方式$x^{2}\pm2xy + y^{2}$中中间项系数是首末两项底数乘积的$2$倍，在$a^{2}+ab + b^{2}$中，中间项$ab$的系数是$1$，不满足中间项系数为$2$倍关系，所以$a^{2}+ab + b^{2}$不是完全平方式。
综上，
(1)是完全平方式；
(2)不是完全平方式；
(3)不是完全平方式；
(4)不是完全平方式。

例 $1$ 分解因式：
(1)$x^{2}+4x + 4$；
(2)$16x^{2}-24x + 9$.

答案：
(1)
解：
原式 $x^{2}+4x + 4$
= $x^{2} + 2 × 2 × x + 2^{2}$
= $(x + 2)^{2}$
(2)
解：
原式 $16x^{2}-24x + 9$
= $(4x)^{2} - 2 × 4x × 3 + 3^{2}$
= $(4x - 3)^{2}$

例 $2$ 分解因式：
(1)$(a + b)^{2}-12(a + b)+36$；
(2)$-x^{2}+4xy - 4y^{2}$.

答案：
(1) $(a + b)^{2}-12(a + b)+36$
$=(a + b)^{2}-2×6×(a + b)+6^{2}$
$=(a + b - 6)^{2}$
(2) $-x^{2}+4xy - 4y^{2}$
$=-(x^{2}-4xy + 4y^{2})$
$=-(x^{2}-2× x×2y + (2y)^{2})$
$=-(x - 2y)^{2}$

1. 分解因式：
(1)$a^{2}+2a + 1$；
(2)$x^{2}-12x + 36$；
(3)$4x^{2}-4x + 1$；
(4)$4p^{2}+12pq + 9q^{2}$；
(5)$(x + y)^{2}-10(x + y)+25$；
(6)$-2xy - x^{2}-y^{2}$.

答案： 1.
(1)$(a+1)^{2}$
(2)$(x-6)^{2}$
(3)$(2t-1)^{2}$
(4)$(2p+3q)^{2}$
(5)$(x+y-5)^{2}$
(6)$-(x+y)^{2}$