《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

14. 计算：
(1)$(a - b + c)^{2}$；
(2)$(2a^{2})^{3}-6a^{3}(a^{3}+2a^{2}+a)$；
(3)$(x + y + z)(x + y - z)$；
(4)$m^{2}(m + 1)^{2}-2m[(m + 2)(m - 2)-2m + 8]$.

答案：
(1)$a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2bc+2ac$
(2)$2a^{6}-12a^{5}-6a^{4}$
(3)$x^{2}+y^{2}+2xy-z^{2}$
(4)$m^{4}+5m^{2}-8m$

15. 观察以下等式：
第1个等式：$(2×1 + 1)^{2}= (2×2 + 1)^{2}-(2×2)^{2}$.
第2个等式：$(2×2 + 1)^{2}= (3×4 + 1)^{2}-(3×4)^{2}$.
第3个等式：$(2×3 + 1)^{2}= (4×6 + 1)^{2}-(4×6)^{2}$.
第4个等式：$(2×4 + 1)^{2}= (5×8 + 1)^{2}-(5×8)^{2}$.
……
按照以上规律,解决下列问题.
(1) 写出第5个等式：$(2×5+1)^{2}=(6×10+1)^{2}-(6×10)^{2}$.
(2) 写出你猜想的第$n$个等式(用含$n$的式子表示),并证明.
(2)$(2n+1)^{2}=[(n+1)\cdot 2n+1]^{2}-[(n+1)\cdot 2n]^{2}$,证明如下:等式左边$=(2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1$,等式右边$=[(n+1)\cdot 2n+1]^{2}-[(n+1)\cdot 2n]^{2}=[(n+1)\cdot 2n+1+(n+1)\cdot 2n]\cdot [(n+1)\cdot 2n+1-(n+1)\cdot 2n]=[(n+1)\cdot 4n+1]×1=4n^{2}+4n+1$,故等式$(2n+1)^{2}=[(n+1)\cdot 2n+1]^{2}-[(n+1)\cdot 2n]^{2}$成立.

答案：
(1)$(2×5+1)^{2}=(6×10+1)^{2}-(6×10)^{2}$
(2)$(2n+1)^{2}=[(n+1)\cdot 2n+1]^{2}-[(n+1)\cdot 2n]^{2}$,证明如下:等式左边$=(2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1$,等式右边$=[(n+1)\cdot 2n+1]^{2}-[(n+1)\cdot 2n]^{2}=[(n+1)\cdot 2n+1+(n+1)\cdot 2n]\cdot [(n+1)\cdot 2n+1-(n+1)\cdot 2n]=[(n+1)\cdot 4n+1]×1=4n^{2}+4n+1$,故等式$(2n+1)^{2}=[(n+1)\cdot 2n+1]^{2}-[(n+1)\cdot 2n]^{2}$成立.

某种产品的原料提价,因而厂家决定对产品进行提价,现有三种方案：
(1) 第一次提价$p\%$,第二次提价$q\%$；
(2) 第一次提价$q\%$,第二次提价$p\%$；
(3) 第一、二次提价均为$\frac{p + q}{2}\%$.
其中$p$,$q$是不相等的正数. 三种方案哪种提价最多？
[提示：因为$p\neq q$,$(p - q)^{2}= p^{2}-2pq + q^{2}＞0$,所以$p^{2}+q^{2}＞2pq$.]

答案： 方案（3）提价最多。