《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

8. 如图,$\angle B = \angle C$,$AD = AE$. 求证：$CD = BE$.

答案：
∵∠B=∠C,∠A=∠A,AE=AD,
∴△ABE≌△ACD.
∴BE=CD.

9. 如图,点$C在线段AD$上,$AB = AD$,$\angle B = \angle D$,$BC = DE$.
(1) 求证：$\triangle ABC \cong \triangle ADE$.
(2) 若$\angle BAC = 60^{\circ}$,求$\angle ACE$的度数.

答案：
(1)在△ABC和△ADE中,$\left\{\begin{array}{l} BC=DE,\\ ∠B=∠D,\\ AB=AD,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)由
(1)得△ABC≌△ADE,
∴AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°.
∴∠AEC=∠ACE.
∵∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=120°,
∴∠ACE=60°.

10. 如图,$AB = AD$,$BC = DC$,$E$,$F分别是DC$,$BC$的中点.
(1) 求证：$\angle D = \angle B$.
(2) 当$AE = 2$时,求$AF$的值.

答案： 1. （1）证明：
在$\triangle ADC$和$\triangle ABC$中，
已知$AB = AD$，$BC = DC$，$AC=AC$（公共边）。
根据全等三角形判定定理$SSS$（三边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ADC\cong\triangle ABC$。
由全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，所以$\angle D=\angle B$。
2. （2）
因为$\triangle ADC\cong\triangle ABC$，$E$是$DC$的中点，$F$是$BC$的中点。
所以$DE=\frac{1}{2}DC$，$BF = \frac{1}{2}BC$，又因为$DC = BC$，所以$DE=BF$。
由（1）知$\angle D=\angle B$，且$AD = AB$。
在$\triangle ADE$和$\triangle ABF$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = AB\\\angle D=\angle B\\DE = BF\end{array}\right.$。
根据全等三角形判定定理$SAS$（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ADE\cong\triangle ABF$。
由全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，因为$AE = 2$，所以$AF=AE$，即$AF = 2$。
综上，（1）已证$\angle D=\angle B$；（2）$AF$的值为$2$。

11. 如图,点$A$,$B$,$C$,$D$在同一条直线上,$AE = BF$,$CE = DF$,$AB = CD$. 求证：$EC // FD$.

答案： 提示:证明△EAC≌△FBD,得∠ACE=∠BDF.

12. (1) 如图(1),在$\triangle ABC$中,$AD是BC$边上的中线,点$E在AD$的延长线上,且$AD = DE$. $\triangle ACD与\triangle EBD$全等吗？为什么？
(2) 如图(2),已知线段$b$,$c$,$m$,作$\triangle ABC$,使$AC = b$,$AB = c$,$BC边上的中线AD = m$.

答案： 1. （1）
解：$\triangle ACD\cong\triangle EBD$。
理由：
因为$AD$是$BC$边上的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle ACD$和$\triangle EBD$中：
$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\\angle BDE=\angle CDA（对顶角相等）\\AD = DE\end{array}\right.$。
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ACD\cong\triangle EBD$。
2. （2）
作法：
第一步：延长$AD$到$E$，使$DE = AD=m$。
第二步：以$A$为圆心，$c$为半径画弧；以$E$为圆心，$b$为半径画弧，两弧交于点$B$。
第三步：以$D$为圆心，$b$为半径画弧；以$A$为圆心，$b$为半径画弧，两弧交于点$C$（$C$与$B$在$AE$两侧）。
第四步：连接$AB$，$AC$，$BC$，则$\triangle ABC$就是所求作的三角形。