《2025年智慧学习明天出版社八年级数学上册人教版》

3. 如图,AB= AE,∠B= ∠E,BC= ED,AM⊥CD于M. 求证:CM= MD.

答案： 提示:连接AC,AD.

1. 如图,在△ABC中,AB= AC,AD是高. 求证:(1)BD= CD;(2)∠BAD= ∠CAD.

答案： 证明：
(1)
因为$AD$是高，
所以$\angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ADB$和$Rt\triangle ADC$中，
$\begin{cases}AB = AC, \\AD = AD.\end{cases}$
根据$HL$（斜边、直角边）定理，$Rt\triangle ADB\cong Rt\triangle ADC$。
所以$BD = CD$。
(2)
由
(1)知$Rt\triangle ADB\cong Rt\triangle ADC$，
根据全等三角形的对应角相等，
所以$\angle BAD = \angle CAD$。

2. 如图,AC⊥BC,DC⊥EC,AC= BC,DC= EC,AE与BD交于点F,AE与BC交于点N.
(1) 求证:AE= BD.
(2) 求∠AFD的度数.

答案：
(1)
∵AC⊥BC,DC⊥EC,
∴∠ACB = ∠DCE = 90°.
∴∠ACE = ∠BCD. 在△ACE和△BCD中,{AC = BC,∠ACE = ∠BCD,
∴△ACE≌△BCD(SAS).
∴AE = BD.
(2)
∵∠ACB = 90°,
∴∠A + ∠ANC = 90°.
∵△ACE≌△BCD,
∴∠A = ∠B.
∵∠ANC = ∠BNF,
∴∠B + ∠BNF = ∠A + ∠ANC = 90°.
∴∠AFD = ∠B + ∠BNF = 90°.

3. 如图,∠1= ∠2,CE⊥AB于E,CF⊥AD交AD的延长线于F,且BC= DC.
(1) BE与DF是否相等? 请说明理由.
(2) 若DF= 1 cm,AD= 3 cm,则AB的长为5cm.

答案： 1. （1）
解：$BE = DF$。
理由：
因为$CE\perp AB$，$CF\perp AD$，$\angle1=\angle2$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$CE = CF$。
在$Rt\triangle CEB$和$Rt\triangle CFD$中，$\left\{\begin{array}{l}CE = CF\\BC = DC\end{array}\right.$。
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，可得$Rt\triangle CEB\cong Rt\triangle CFD$。
再根据全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，所以$BE = DF$。
2. （2）
解：
因为$Rt\triangle CEB\cong Rt\triangle CFD$，所以$BE = DF = 1cm$。
又因为$CE = CF$，$\angle1=\angle2$，$AC = AC$，在$Rt\triangle ACE$和$Rt\triangle ACF$中，$\left\{\begin{array}{l}CE = CF\\AC = AC\end{array}\right.$，根据$HL$定理可得$Rt\triangle ACE\cong Rt\triangle ACF$。
所以$AE = AF$。
已知$AD = 3cm$，$DF = 1cm$，则$AF=AD + DF=3 + 1=4cm$，所以$AE = AF = 4cm$。
那么$AB=AE + BE$，把$AE = 4cm$，$BE = 1cm$代入可得$AB=4 + 1=5cm$。
故答案为：$5$。

在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E. 求证:DE= AD+BE.

答案： 提示:证Rt△ADC≌Rt△CEB,得AD = CE,BE = CD.